浅谈阿基米德螺线

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1、浅谈阿基米德螺线北京师范大学环境学院郭惠媛（200911181021）姜畔（200911181023）摘要：本文从生活中有趣的自然现象出发，介绍了阿基米德螺线的发现、定义、方程、作图以及自然界和实际生活中的应用，浅谈了对于阿基米德螺线定义的不同观点，并以蚊香为例，建模，证明了阿基米德螺线应用的广泛性。关键词：阿基米德螺线、极坐标、自然界实例，生活中应用引言很多人都知道飞蛾扑火这个故事。但是，为什么飞蛾会这么执着地扑向火光呢?这要从它的祖先谈起。飞蛾的历史远比人类悠久。在亿万年前，没有人造火光，飞蛾完全靠天然光源(日光、月光或星光)指引飞行。由于太阳、

2、月亮、星星距离地球都很远，它们发出的光线照到地球上可以认为是平行直线。当飞蛾直线飞行时，它在任何位置的前进方向与光线的夹角都是一个固定值(如图1)。可是，如果光源离得很近，不能将它们发出的光线看作平行光时，飞蛾再按照固有的习惯飞行，飞出的路线就不是直线，而是一条不断折向灯光光源的螺旋形路线(如图2)。这在数学上称为阿基米德螺线。通俗的说，阿基米德螺线就是既作匀速转动又作匀速直线运动而形成的轨迹。举一个形象一点的例子：时钟上的指针在作匀速转动，假如有一只小虫子从时钟的中心，沿指针作匀速爬动，那么虫子最终走出的轨迹就是阿基米德螺线（如图3）。1.阿基米德

3、螺线简介1.1阿基米德简介及螺线的发现阿基米德Archimedes（约公元前287～前212），古希腊伟大的数学家、力学家。他公元前287年生于希腊叙拉古附近的一个小村庄．11岁时去埃及，到当时世界著名学术中心、被誉为“智慧之都”的亚历山大城跟随欧几里得的学生柯农学习，以后和亚历山大的学者保持紧密联系，因此他算是亚历山大学派的成员。公元前240年，阿基米德由埃及回到故乡叙拉古，并担任了国王的顾问．从此开始了对科学的全面探索，在物理学、数学等领域取得了举世瞩目的成果，成为古希腊最伟大的科学家之一．后人对阿基米德给以极高的评价，常把他和牛顿、高斯并列为有

4、史以来三个贡献最大的数学家。据说，阿基米德螺线最初是由阿基米德的老师柯农(欧几里德的弟子)发现的．柯农死后，阿基米德继续研究，又发现许多重要性质，因而这种螺线就以阿基米德的名字命名了．1.2阿基米德螺线的定义及方程1.2.1《论螺线》中阿基米德螺线的定义阿基米德螺线，亦称“等速螺线”。螺线是指一些围着某些定点或轴旋转且不断收缩或扩展的曲线，阿基米德螺线是一种二维螺线。在《论螺线》中，阿基米德给出了如下定义：当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，这射线又以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。它的极坐标方程为:r=aθ。这种螺线的每条臂

5、的距离永远相等于2πa。1.2.2阿基米德螺线定义的不合理之处当我们在纸上用笔沿着一盘阿基米德螺线形状的蚊香进行描绘时，可以或快或慢或暂停又继续地去画完这条螺旋线，是不会有“等速率”﹑“等角速度”感觉的。实际上阿基米德螺线是动点“旋转”与“直线”两种运动同步、按比例合成的轨迹线。“同步”意味着“旋转”与“直线”两种运动步调一致。即：你动我动，你快我快，你慢我慢，你停我停。“同步”可以包含“旋转”与“直线”两种运动的“等速度”，而“等速度”决不能等同“同步”！因为“同步”容许速度的同步变化，而“等速度”则不允许速度变化。在螺旋线中，螺距（通常用S表示）

6、是一重要参数，它表示动点绕中心回转一周时，沿直线方向移动的距离。“螺旋比”（简称“旋比”—用ix表示）即：螺距与一周（360度或2π）的比,ix=S/360度(角度制)或ix=S/2π(弧度制)；任意回转角度下，动点相应运动的直线距离（L）等于该回转角度与“旋比”的乘积。L=ixα(角度制),或L=ixθ（弧度制）。阿基米德螺线极坐标方程式r=aθ中的“a”既是螺线比“ix”；”r”既是“L”。因为阿基米德螺线的螺线比为常数，一周永远等于360度或2π，所以螺距永远相等，即螺线的每条臂的距离永远相等于2πa。根据螺距永远相等的特性，我们可将这类螺线称

7、为“等距螺线”或“等旋比螺线”。而不能称之为“等速螺线”。1.3阿基米德螺线的方程极坐标系：在数学中，极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示阿基米德螺旋线的标准极坐标方程：r（θ）=a+b（θ）式中：b—阿基米德螺旋线系数，mm/°，表示每旋转1度时极径的增加（或减小）量；θ—极角，单位为度，表示阿基米德螺旋线转过的总度数；a—当θ=0°时的极径，mm。改变参数a将改变螺线形状，b控制螺线间距离，通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线，一条θ>0，另一条θ<0

8、。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转90°/270°得到其镜像，就是另一条螺线。在极坐标系与平面直角