对集合的一点新认识

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1、对集合的一点新认识对集合一点新认识 【摘要】： 空集（Ø）是一类特殊集合，在集合研究中处于基础地位。本文运用逻辑演绎方法，从理论上通过对空集的重新认识阐述，叙述了空集的现行概念、与非空集（Ø）关系及悖论性；初步定义“嵌套集”的相关概念及推广。【关键词】：  空集；悖论性；嵌套性；循环节 一、对空集（Ø）的认识1．空集（Ø）的现有定义不含任何元素的集合称为空集，记作Ø。2.空集（Ø）与非空集（Ø）之间的关系现行教材的规定：空集（Ø）是一切集合的子集；空集（Ø）是一切非空集（Ø）的真子集。空集（Ø）与非空集（Ø）之间定义了2种关系，即“子集”，“真子集”关系；或ØcØ   ØcØ

2、 3．悖论性，“空集的二重性”若给定空集（Ø）与集合a={1，2，Ø}，那么存在如下命题：（I）Ø∈a，理由：集合的定义；（II）Øca或Øc a，理由：空集的性质（规定）。前者反映集合与元素之间关系的唯一性；要么属于，要么不属于；后者反映集合与集合之间关系的明确性，定义出“包含”、“不包含”、“真包含”等意义。由此说明空集（Ø）的二元性：在同一条件下，既是集合又是元素，从而说明集合、元素概念的矛盾性（并不完备）。二、对非空集（Ø）的认识给定2个集合a={1，2}，B={1，2，a}。试确定二者之间的关系。显然，从集合与元素之间的关系出发，有a∈B；若从集合与集合之间的关系考

3、虑，a与B之间满足“真包含”关系，即Bca。前者肯定了集合与元素之间的关系，后者肯定了集合与集合之间的关系。那么在同一条件下集a与集B究竟应该明确如何关系呢？目前中学教材尚无定论。当问题出现时，老师和学生就不好把握。三、“属于”“∈ ”，“子集”“c”，“真子集”“c ”在同一条件下的地位分析   [例证]：给定集合a、B，a={1，2}B={1，2，a}从现有的教材我们可以看出，集合与元素之间的从属关系在前，集合与集合之间的（真）子集关系在后。这2种关系是相对独立的。讨论：1o.如果肯定了a ∈ B,那么就否定了a与B的子集关系；2o.如果肯定了acB,则否定了a∈B，也就

4、是不能肯定a与B的从属关系，进而否定了集合的定义。分析：由于集合与元素之间的从属关系在前，是铺垫、是基石，因而先要作出肯定。为了避开或解决它们之间的矛盾，排除以子集为元素的情况。我们规定acB任意a∈a,则a∈B,且a B，这样就明确了a与B资集关系的唯一性。四、嵌套集定义集合a={1,2,B},B=a.则a为嵌套集。其中｛1，2｝为嵌套集的循环节。例证推演：设集合a=｛1，2，B｝,且B=a；则集a可作如下的推演，a={1,2,B}={1,2,{1,2,B}}={1,2{1,2{1,2,B}}}=……这里集a中存在嵌套元素B。[特例]考察数列｛an｝,an=(有n个“”)，

5、求an→?(n→).解法一：利用代数方程求解令a=，a=an则有a=B(n→)。注意，这里a=B是隐含条件；对a=变形得a2=2B，利用a=B，求出a=2. 解法二：利用等比数列性质公式求值an=2[]，等比数列｛an｝的首项和公比都是1/2，无穷项之和S=1，因此an→2 (n→).于是得到=2.从以上两种证法比较看出，利用代数方程求解（嵌套分离）方法较为简单。像这种循环根式如上例化简都可以通过循环节来建立代数方程求解。思考：根式化简T1: （提示：由a2=a•a得到a=a） T2:（提示：由a4=22•3•B得到a=） T3:（提示：由a6=23•3•B得到a= ） 求解

6、循环根式重要的是找出循环节；如T1式,循环节；T2式,循环节；T3式,循环节。然后建立代数方程求解。 作者：老**职业技术学校陈中林