对集合的一点新认识

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1、对集合的一点新认识对集合一点新认识【摘要】：空集（Ø）是一类特殊集合，在集合研究中处于基础地位。本文运用逻辑演绎方法，从理论上通过对空集的重新认识阐述，叙述了空集的现行概念、与非空集（Ø）关系及悖论性；初步定义“嵌套集”的相关概念及推广。【关键词】：空集；悖论性；嵌套性；循环节一、对空集（Ø）的认识1．空集（Ø）的现有定义不含任何元素的集合称为空集，记作Ø。2.空集（Ø）与非空集（Ø）之间的关系现行教材

2、的规定：空集（Ø）是一切集合的子集；空集（Ø）是一切非空集（Ø）的真子集。空集（Ø）与非空集（Ø）之间定义了2种关系，即“子集”，“真子集”关系；或ØCØØCØ3．悖论性，“空集的二重性”若给定空集（Ø）与集合A={1，2，Ø}，那么存在如下命题：（I）Ø∈A，理由：集合的定义；（II）ØCA或ØCA，理由

3、：空集的性质（规定）。前者反映集合与元素之间关系的唯一性；要么属于，要么不属于；后者反映集合与集合之间关系的明确性，定义出“包含”、“不包含”、“真包含”等意义。由此说明空集（Ø）的二元性：在同一条件下，既是集合又是元素，从而说明集合、元素概念的矛盾性（并不完备）。二、对非空集（Ø）的认识给定2个集合A={1，2}，B={1，2，A}。试确定二者之间的关系。显然，从集合与元素之间的关系出发，有A∈B；若从集合与集合之间的关系考虑，A与B之间满足“真包含”关系，即BCA。前

4、者肯定了集合与元素之间的关系，后者肯定了集合与集合之间的关系。那么在同一条件下集A与集B究竟应该明确如何关系呢？目前中学教材尚无定论。当问题出现时，老师和学生就不好把握。三、“属于”“∈”，“子集”“C”，“真子集”“C”在同一条件下的地位分析[例证]：给定集合A、B，A={1，2}B={1，2，A}从现有的教材我们可以看出，集合与元素之间的从属关系在前，集合与集合之间的（真）子集关系在后。这2种关系是相对独立的。讨论：1O.如果肯定了A∈B,那么就否定了A与B的子集关系；2O.如果肯定了ACB,则

5、否定了A∈B，也就是不能肯定A与B的从属关系，进而否定了集合的定义。分析：由于集合与元素之间的从属关系在前，是铺垫、是基石，因而先要作出肯定。为了避开或解决它们之间的矛盾，排除以子集为元素的情况。我们规定ACB<=>任意a∈A,则a∈B,且AB，这样就明确了A与B资集关系的唯一性。四、嵌套集定义集合A={1,2,B},B=A.则A为嵌套集。其中｛1，2｝为嵌套集的循环节。例证推演：设集合A=｛1，2，B｝,且B=A；则集A可作如下的推演，A={1,2,B}={1,2,{1,2,B}}={

6、1,2{1,2{1,2,B}}}=……这里集A中存在嵌套元素B。[特例]考察数列｛an｝,an=(有n个“”)，求an→?(n→).解法一：利用代数方程求解令A=，A=an则有A=B(n→)。注意，这里A=B是隐含条件；对A=变形得A2=2B，利用A=B，求出A=2.解法二：利用等比数列性质公式求值an=2[]，等比数列｛an｝的首项和公比都是1/2，无穷项之和S=1，因此an→2(n→).于是得到=2.从以上两种证法比较看出，利用代数方程求解（嵌套分离）方法较为简单。像这种循环根式如上例化简都可以

7、通过循环节来建立代数方程求解。思考：根式化简T1:（提示：由A2=a•A得到A=a）T2:（提示：由A4=22•3•B得到A=）T3:（提示：由A6=23•3•B得到A=）求解循环根式重要的是找出循环节；如T1式,循环节；T2式,循环节；T3式,循环节。然后建立代数方程求解。：老**职业技术学校陈中林