2013年杨浦区高三数学一模答案

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1、杨浦区2012学年度第一学期高三年级学业质量调研2013.1.5一．填空题:1.0；2．；3．2；4.（向量表示也可）；5．；6.；7.8.2013；9.（文）或；（理）③⑤；10.(文)(理)；11.12．48；13．(文)(理)；14．(文)(理)0；二、选择题:15．；16．；17．；18.．三、解答题19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．-10---(文、理科共6页)(1)由已知得，………2分所以，体积………5分(2)取中点，连接，则，所以就是异面直线与所成的角.………7分由已知，，

2、.………10分在中，，所以，.………12分(其他解法，可参照给分)20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．(文)解：（1）因为，则，所以.………3分平方得，=，………5分所以.………7分（2）因为==………9分=-10---(文、理科共6页)=.………11分当时，.………12分所以，当时，的最大值为；………13分当时，的最小值为.………14分(理)解：（1）因为………2分………4分所以,，即函数的最小正周期为………5分，所以的单调递减区间为………7分（2）因为，得，所以有………8分由，即………

3、10分所以，函数的最大值为1.………12分此时，因为，所以，，即.………14分-10---(文、理科共6页)21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．(文)（1）解：设椭圆的半焦距是.依题意，得.………1分由题意得，.………4分故椭圆的方程为.………6分（2）解：当轴时，显然.………7分当与轴不垂直时，可设直线的方程为.由消去整理得.………9分设，线段的中点为，则.………10分所以，.线段的垂直平分线方程为.在上述方程中令，得.………12分当时，；当时，.-10---(文、理科共6页)所以，或.

4、………13分综上，的取值范围是.………14分（理）解：（1）设椭圆的方程为，由题意知：左焦点为所以，………4分解得，．故椭圆的方程为．………6分（方法2、待定系数法）（2）设，，由：，，………8分两式相减，得到所以，即，………11分同理，所以，又因为直线的斜率之和为0，所以………14分方法2、(可参照方法1给分)设直线：，代入椭圆，得到，化简得(以下略)-10---(文、理科共6页)22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.(1)由已知得，，则………1分当且仅当时，即等号成立，

5、………3分所以，………4分(2)由题得………5分函数在的最大值为………9分………10分(3)设，则直线的方程为，即，………11分由得………13分又，………14分所以，，故………16分-10---(文、理科共6页)23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.（文）（1）因为点都在直线上，所以，得，………2分其中．………3分因为常数，且，所以为非零常数．所以数列是等比数列．………4分（2）由，得，………7分所以，得．………8分由在直线上，得，………9分令得．………10分（3）由知恒成

6、立等价于．因为存在、，使得点和点都在直线上．由与做差得：．………12分易证是等差数列，设其公差为，则有，因为，所以，又由，而-10---(文、理科共6页)得得即：数列是首项为正，公差为负的等差数列，所以一定存在一个最小自然数，………16分使，,即解得因为，所以，即存在自然数，其最小值为，使得当时，恒成立．………18分（解2，可通过求，，所以）（理）解：（1），，………2分，则所以.………4分（2），所以，所以，①当，即时，，所以，解得（，舍去）.………6分②当，即时，，所以，-10---(文、理科共6页)解得（，舍去）.………7分

7、③当，即时，，所以，解得（，舍去）.………9分综上，，，.………10分（3）成立.………11分（证明1）由是有理数，可知对一切正整数，为0或正有理数，可设（是非负整数，是正整数，且既约）.………12分①由，可得；………13分②若，设（，是非负整数）则，而由得，故，，可得………14分若则，………15分若均不为0，则这正整数互不相同且都小于，但小于的正整数共有个，矛盾.………17分故中至少有一个为0，即存在，使得.-10---(文、理科共6页)从而数列中以及它之后的项均为0，所以对不大于的自然数，都有.（证法2，数学归纳法）………18

8、分（其它解法可参考给分）-10---(文、理科共6页)