2013年杨浦区高三数学一模答案

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1、杨浦区2012学年度第一学期高三年级学业质量调研2013.1.5一.填空题:1.0;2.;3.2;4.(向量表示也可);5.;6.;7.8.2013;9.(文)或;(理)③⑤;10.(文)(理);11.12.48;13.(文)(理);14.(文)(理)0;二、选择题:15.;16.;17.;18..三、解答题19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分.-10---(文、理科共6页)(1)由已知得,………2分所以,体积………5分(2)取中点,连接,则,所以就是异面直线与所成的角.………7分由已知,,.………10分在中,,所以,.………12分(其他解法,可参

2、照给分)20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.(文)解:(1)因为,则,所以.………3分平方得,=,………5分所以.………7分(2)因为==………9分=-10---(文、理科共6页)=.………11分当时,.………12分所以,当时,的最大值为;………13分当时,的最小值为.………14分(理)解:(1)因为………2分………4分所以,,即函数的最小正周期为………5分,所以的单调递减区间为………7分(2)因为,得,所以有………8分由,即………10分所以,函数的最大值为1.………12分此时,因为,所以,,即.………14分-10---(文、理科共6页)21.(

3、本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.(文)(1)解:设椭圆的半焦距是.依题意,得.………1分由题意得,.………4分故椭圆的方程为.………6分(2)解:当轴时,显然.………7分当与轴不垂直时,可设直线的方程为.由消去整理得.………9分设,线段的中点为,则.………10分所以,.线段的垂直平分线方程为.在上述方程中令,得.………12分当时,;当时,.-10---(文、理科共6页)所以,或.………13分综上,的取值范围是.………14分(理)解:(1)设椭圆的方程为,由题意知:左焦点为所以,………4分解得,.故椭圆的方程为.………6分(方法2、待定系数法)(2)设

4、,,由:,,………8分两式相减,得到所以,即,………11分同理,所以,又因为直线的斜率之和为0,所以………14分方法2、(可参照方法1给分)设直线:,代入椭圆,得到,化简得(以下略)-10---(文、理科共6页)22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.(1)由已知得,,则………1分当且仅当时,即等号成立,………3分所以,………4分(2)由题得………5分函数在的最大值为………9分………10分(3)设,则直线的方程为,即,………11分由得………13分又,………14分所以,,故………16分-10---(文、理科共6页)23.(本题满分18

5、分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.(文)(1)因为点都在直线上,所以,得,………2分其中.………3分因为常数,且,所以为非零常数.所以数列是等比数列.………4分(2)由,得,………7分所以,得.………8分由在直线上,得,………9分令得.………10分(3)由知恒成立等价于.因为存在、,使得点和点都在直线上.由与做差得:.………12分易证是等差数列,设其公差为,则有,因为,所以,又由,而-10---(文、理科共6页)得得即:数列是首项为正,公差为负的等差数列,所以一定存在一个最小自然数,………16分使,,即解得因为,所以,即存在自然数,其最小值为,使

6、得当时,恒成立.………18分(解2,可通过求,,所以)(理)解:(1),,………2分,则所以.………4分(2),所以,所以,①当,即时,,所以,解得(,舍去).………6分②当,即时,,所以,-10---(文、理科共6页)解得(,舍去).………7分③当,即时,,所以,解得(,舍去).………9分综上,,,.………10分(3)成立.………11分(证明1)由是有理数,可知对一切正整数,为0或正有理数,可设(是非负整数,是正整数,且既约).………12分①由,可得;………13分②若,设(,是非负整数)则,而由得,故,,可得………14分若则,………15分若均不为0,则这正整数互不相同且都小于,但小于的

7、正整数共有个,矛盾.………17分故中至少有一个为0,即存在,使得.-10---(文、理科共6页)从而数列中以及它之后的项均为0,所以对不大于的自然数,都有.(证法2,数学归纳法)………18分(其它解法可参考给分)-10---(文、理科共6页)

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