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时间：2021-11-23
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1、向量与向量的线性组合（一）向量及其线性运算二维向量二元有序数组（x,y）(x,y)0三维向量三元有序数组（x,y,z）n维行向量n元有序数组ai的第i个分量n维列向量1.定义令称为满足方程的一个解向量。例（P.110(113))方程组若记方程组有解使得（二）向量组的线性组合问题的提出：线性方程组可用向量表示为方程组是否有解的问题归结为：是否存在一组数使得上式成立。则称是向量组的线性组合或称可由向量组线性表示（或线性表出）定义3.5（P.124(128)）对于给定的向量若存在一组数使得可否全为零？1.定义如前例例（P.124例3(129例2)）零向量是任何向量组的线性
2、组合。设任一向量组为，一些常用结果零向量数零n维单位向量组（基本向量）：例（P.124例2(129例1)）任何n维向量都可由n维基本单位向量组线性表示。例（P.125例4（129例3））向量组中任一向量都可由这个向量组线性表出。因为组内向量可由本组向量表示2.能否表示的判定定理及求组合系数的方法对比线性方程组的向量表示：及线性组合的定义：知，是否为向量组的线性组合，等价于方程组有无解，等价于r(A
3、)是否等于r(A)。设其中定理3.3（P.124（128））可由向量组线性表示以向量j为列！注意：若，j是行向量，则须组合系数为方程组的解。思考题：若可由向量组线
4、性表示，问：“表示”是否唯一？列向量，行变换！例5P.125判断向量是否各为下列向量组的线性组合。若是，写出表示式。解(1)（表示唯一吗？）(2)练习设R3中的向量判断能否由1，2，3线性表示？若能，写出一个表示式。解若不需写出“表示式”，则不必化行简化阶梯形矩阵。（表示式不唯一，为什么？）取x3=0,得x1=5,x2=-1.于是得线性表示式：再求一表示式取x3=1,得x1=6,x2=-3.定义设有两个向量组•若向量组(A)的每个向量都可由向量组(B)中的向量线性表出，则称向量组(A)可由向量组(B)线性表出。三、两个向量组之间的关系(P.125(137))即•若
5、向量组(A)与向量组(B)可互相线性表出，则称它们等价。(定义3.6）线性表出的传递性：(A)可由(B)线性表出，(B)可由(C)线性表出，(A)可由(C)线性表出。设定理3.4（P.126（137定理3.8））证略例6P.126判断下列向量组是否等价解因为所以(B)可由(A)线性表示。又所以(A)可由(B)线性表示。故向量组(A)与(B)等价。(C)可由(A)线性表示:但(A)不能由(C)线性表示:因不能由(C)线性表示故(A)与(C)不等价，由此(B)与(C)也不等价。为什么？练习故两向量组等价。注意：两等价向量组的向量个数不一定相等.解§3.2n维向量空间
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