计量课后习题答案

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1、Forreferenceonly！Wechat：hpczcx说明：以下题目为去年我们学这门课布置的习题，当然这里将编程题省略了，有需要的同学可以交流探讨。有些地方符号啥的可能会打错，仅供参考！Chapter31x11x1.解：不妨将两变量回归方程写为矩阵形式，则有XXX2.121xna.由最小二乘正规方程知：X'XbX'y=X'e=0，则X'e12X'e0，将矩阵乘积写为代数表达式，即有iiei0,xeii0.b.由a知iei0,又eiyibxia,代入整理得：ayb

2、x.c.由a知iiei0,xeii0,则ii(xixe)i(xixy)(ibxia)0,又由b知aybx,则有i(xix)[(yiy)bx(ix)]0,对该等式求解b即可得到：nn2b[ii11(xixy)(iy)]/[(xix)].d.残差平方和为：e'e=y'y2y'Xbb'X'Xb,则对b求一阶偏导并令其等于0得：e'e-2X'y+2X'Xb=0,求解即可得到b和c中的结果，对b求二阶偏导得：b2e'e22nxii22,X'X2对角线

3、元素分别为2nx和2ii,均为正，该bb'22iixxii22222矩阵的行列式为：4nixi4(ixi)4[(nixi)nx]4[ni(xix)],可知该行列式为正（除非所有的xi都相同，此时行列式为0）.2.证明：以c为系数，残差平方和为：(yXc)'(yXc)(yXb+X(bc))'(yXbX(bc))(yXb)'(yXb)2,(bc)'X'(yXb)(cb)'X'X(cb)又2(bc)'X'(yXb)2(bc)'X'e0,则有(yXc)'(yXc)(

4、yXb)'(yXb)(cb)'X'X(cb),即可得到两个残差平方和的差异为：(yXc)'(yXc)(yXb)'(yXb)(cb)'X'X(cb),该差异为正，因n2为cb,令qvv'vi,其中vXc-b()，除非v的每一个元素都是0，否则该值i11/17Forreferenceonly！Wechat：hpczcx就是正的，而若v0,则意味着X的列的线性组合为0,这与假设X是列满秩矛盾，这也就证明了最小二乘法是使得残差平方和最小的唯一解。0013.解：由推论3.2.1（page34

5、）可知，y对i和X回归，X的系数为：b(X'MX)X'My,010其中，MIi(i'i)i',其作用是将观测值转化为离差形式，注意到M是对称幂等矩000n000100阵[即M=M'M,M]，则b[(X'M'MX)()](X'M'My)(),11000a.若只对y做离差变换，即b(X'X)(X'M'My)()(X'X)X'My,结果不同；0011000b.若只对X做离差变换，即b[(X'M'MX)()](X'M'y)(X'MX)X'My,结果相同。114.解：依题意，由(3-19)知，MIXX

6、'X()X',由(3-14)知，MIXX'X()X',11111111则MM(IXX'X()X'M)MXX'X()X'MMXX'X()(MX'),1111111111111其中利用了M是对称幂等矩阵的性质，而MX0,X1是X的一部分，则MX10,因此，MMM.1111115.证明：本题用到page992的A-66a，即[Abc']A[]Abc'A.11c'AbXnyn''1添加一组观测值，则Xn,s',yn,s,bn,s(XXn,sn,s)Xyn,sn,s,[P

7、S:注意教材xyss''yn'中向量和矩阵的表示方式]其中，Xy(Xx)Xyxy,n,sn,snssynnss''1'1(XX)(XXxx),利用前面性质可得：n,sn,snnss'1'11'1''1(XX)(XX)(XX)xx(XX),代入得：n,sn,snn1xx'1(XX')nnssnnssnn2/17Forreferenceonly！Wechat：hpczcx'1b()XXXyn,sn,sn,sn,sn,s'11'1''1'[(XX)(XX)xx(XX)](

8、Xyxy)nn1xx'1(XX')nnssnnnnssssnn'1''1'(XX)xx(XX)(Xyxy)(XX')11Xy'(XX')xynnssnnnnssnnnnnnss1xx'1(XX')ssnn'1'''1'1()XXx