非线性教材37页至73页

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1、1.4结构稳定性及分岔定义1.4.1设M为一连通的Hausdorff空间，B是一个欧氐空间Rn。假设U是M的开子集,是从U到B中开子集(U)的同胚映射，则称（U,）是M的一个坐标图，该拓扑空间M称为n维拓扑流形，简称n维流形，称开集U和U到Rn的开子集(U)的同胚所组成的(U,)为M的一个坐标邻域（有时称为坐标卡chart)，y=(y1，…，:yn)=(x)为点x∈U的坐标，并称Rn为流形M的模型空间（参阅图1.4.1)。定义1.4.2设M为n维拓扑流形，被一组开子集{Uа}所覆盖,a:Ua→a(U

2、a)Rn为同胚，全体{(Uа,a),A}称为M的坐标图册（atlas)。当UaU≠0,,A时，如果存在映射：（UaU）（UaU）和：（UaU）（UaU）都是Rn到Rn的Ck映射，则称坐标图(U,)与（U,)是Ck相容的，并称图册为C-图册。如果在流形M上赋予一个Ck-微分结构，则称此流形为Ck-微分流形。当k=0时，M为Ck-流形，即为通常的拓扑流形，而当k=时，称为光滑流形(smoothmanifold)。定义1.4.3设S为n维微分流形M的子集，如果对每个xS，存在M在该处的图（U，)，使得（S

3、U）为Rk(k

4、集合记作Diffk(M，N)，很明显它是Ck(M，N)的子集。定义1.4.6对于Cr(rl)微分流形M，假设>0,存在开区间I=(-,)，如果C1映射C:IM存在，则称为M上的一条曲线。如果C(0)=P，则称曲线以P为基点。如果C1，C2是以P为基点的两条曲线，并且（U,）是坐标卡,PU,如果D(C1)(0)=D(C2)(0)(即Banach空间中的曲线C1与C2在0点相切）,则称M上的曲线C1和C2在点P相切。定义1.4.7如果微分流形M是Cr(rl)，在P点(PM)的全体切向量的集合Tp(M

5、)={[C]p

6、C是M上以P为基点的曲线}称为流形M在P点的切空间(tangentspace)。定义1.4.8如果f:MN是流形间的C1映射，则称映射Tf:TMTN,Tf([C]p)=[fC]f(P)为f的切映射。1.4.2流于微分同胚定义1.4.9—个非空集合G,如果满足下列四个条件，则称其按给定的“乘法”运算构成群(group)。(1)G对于乘法是封闭的，即：对任何啊a,bG,存在cG,使得c=abC称为a和b的乘积。(2)乘法结合律成立，即:对任何a、b、cG，有a(bc)=(ab)c。(3)

7、G中存在唯一的单位元素e,使得对任何aG，有ea=ae=a(4)对任何aG,都存在逆元素a-1G，使得a-1a=aa-1=e。定义1.4.10如果一个集合K上的若干个可逆映射（变换）构成的集合G，其对映射的复合运算构成一个群，则称G为集合K上的一个变换群。定义1.4.11设:KK是含参数的映射.(为某指标集合)。令G={

8、}，如果G对映射的复合运算构成一个群.则称G为K上的一个参数变换群。1.4.3向量场与微分同胚的相图定义1.4.12如果点qE对某个T>0,满足(q)=q,则称q为流的周期点，该类

9、T值中的最小者称为周期（period)。而流过周期点q的轨线称为流的闭轨或周期轨线。定义1.4.13如果存在正整数m，使得G"'(x)=x，则称x为G的周期点，而使其成立的最小正整数m称为x的周期,过周期点的轨线称为周期轨线，而满足G(x)=x的点称为G的不动点（fixedpoint)，也可以理解为周期-1的周期点。定义1.4.14如果有集合，对于任何xA和kZ有Gk(x)，则称为G的不变集(invariantset)。定义1.4.15点集(x)=，(x)=分别称为过点x的轨线的极限集（limits

10、et)和极限集。定义1.4.16如果对点x的任何邻域U都有整数k0，使得Gk(U)U,则称x为G的非游荡点（non-wanderingpoint)。而G的全体非游荡点的集合称为非游荡集（non-wanderingset),记作(G)。定义1.4.17对于两个向量场X,Y(M)(M上所有的Cr向量场的集合),如果存在同胚(Cr微分同胚)h:MN,将X的轨道保向地映射为Y的轨道,则两向量场是Cr可微拓扑等价的,h称为两向量场之间的拓扑等价。如果向量场f和g的拓扑等价是在对