裴波那契数列

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1、“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（LeonardoFibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(LiberAbaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、⋯⋯这个数列从第

2、三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。【奇妙的属性】随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887⋯⋯从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第五项的平方比前后两项之积多1，第四项的平方比前

3、后两项之积少1）如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2⋯⋯）的其他性质：1.f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(n)=f(n+2)-12.f(1)

4、+f(3)+f(5)+⋯+f(2n-1)=f(2n)-13.f(0)+f(2)+f(4)+⋯+f(2n)=f(2n+1)-14.[f(0)]^2+[f(1)]^2+⋯+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)5.f(0)-f(1)+f(2)-⋯+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1精品学习资料可选择pdf第1页，共5页-----------------------6.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（logn）的程序。7.[f(n)]^2=(-1)^

5、(n-1)+f(n-1)·f(n+1)8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^29.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m)[n〉m≥-1,且n≥1]斐波那契数列在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列111121133114641⋯⋯过第一行的“1”向左下方做45度斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、⋯⋯斐波那契数与植物花瓣3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯百合和蝴蝶花5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草8⋯⋯

6、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯翠雀花13⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯金盏草21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯紫宛34、55、89⋯⋯⋯⋯⋯雏菊斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。精品学习资料可选择pdf第2页，共5页------------

7、-----------【相关的数学问题】1.排列组合有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法⋯⋯1，2，3，5，8，13⋯⋯所以，登上十级，有89种走法。2.数列中相邻两项的前项比后项的极限当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少？这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+√5)/2，这个就是黄金分割的数值，也是代表大自然的和谐的一个数字。3.求递推数列a(1)=1

8、，a(n+1)=1+1/a(n)的通项公式由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n)，将斐波那契