第4讲几何问题之中点题型Ⅱ(教师)页

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1、第四讲.几何问题之中点题型Ⅱ【教学目标】1.掌握三角形的内角和定理；2.了解三角形三边的关系，并且能进行简单的应用；3.学习用三角形边、角的关系进行简单的计算和证明；4.学习分析问题、解决问题的能力。【知识、方法梳理】：一.中点有关联想归类：1.等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2.直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3.三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形

2、）；5.有中点时常构造垂直平分线；6.有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7.倍长中线。二．与中点问题有关的四大辅助线：1.出现三角形的中线时，可以延长（简称“倍长中线”）；2.出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线；3.出现三角形边上的中点，作中位线；4.出现等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一”。三.几何证明之辅助线构造技巧：1.假如作一条辅助线，能起到什么作用；【典例精讲】模块三、出现等腰三角形底边上的中点，造“三线合一”一、基础回顾：1.等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形；相等的两条边叫

3、做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。2.等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等；（“等边对等角”）②等腰三角形的顶角平分线，底角上的中线、底边上的高相互重合；（“三线合一”）提问：你知道等腰、顶角平分线，底角中线和底边上的高四者之间的关系吗？3.线段的垂直平分线：经过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。4.线段的垂直平分线相关的结论：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；②与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。二、如何造“三线合一

4、”：1.通常在以下两种情况下，会作“三线合一”辅助线：①等腰三角形中有底边中点；②证明底边中点。（证明角平分线和垂直也会用到）2.作“三线合一”辅助线能得到：①整体上，“三线合一”作底边的垂直平分线出现对称模型；②细说，角方面：可以出现等角和直角；线段方面：可以得到相等的线段。例1.如图1，已知ABC中，AD是BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ABAC。AA12A12EBCDBC图2BCDD图1图3E【证明】：方法一：如图2，延长AD到E，使DEAD，连结BE易证：EBAC，E2得1E，于是ABEB，得ABAC

5、方法二：如图3，取AB的中点E,连结DE1则DE为中位线，DE∥AC且DE=AC2∴EDA2∴EDA1∴DEAE11∵AEAB，DEAC22∴ABAC?点评：1.要证明边相等，由题意知只需要证明相关的角相等，而由已知得到的角12又不在同一个三角形中，因此必须利用中点移动条件，使已知条件集中在同一个三角形中，于是构造中心对称图形或作出中位线，就可以移动1或2的位置，使它们集中在同一个三角形中；2.本题还是一道易错题，学生容易错成逆用三线合一性质或错成直接证明ADB和ADC全等。例2.如图1，在ABC中，AD是BAC的平分线，

6、M是BC的中点，过M作ME∥AD交BA的延长线于E，交AC于F,求证：BECF。EAFBCDM图1【分析】：要证的结论AB=CF这两条线段不在同一个三角形中，同时它们所在的两个三角形又不是同类三角形，无法证明它们全等，因此必须移动图形.由于M是BC的中点，利用中点构造中心对称图形或中位线就能移动AB或CF的位置，使它们集中在同一个三角形中,另一方面,由于图中有角平分线与平行线，这两者结合能得到等腰三角形,即到线段相等，于是问题得解。【证明】：方法一：如图2，延长EM到N,使NMEM，连结CN易证：BEM≌CNM∴BECN,

7、EN再证：EEFA由EFA3，EN得N3∴CNCF∴BECF方法二：如图3，延长FM到N，使NMFM，连结BN，类似方法一，也可以证明BECF。方法三：如图4，连结BF，取BF的中点H,取EF的中点K，连结HM、KH∴HM、KH为中位线11∴KHBE，HMCF22∵AD是BAC的平分线∴23∵ME∥AD∴E2,EFA3∴EEFA11∵KHBE，HMCF22∴HKFE,EFA1∴HKF1∴HKHM∴BECF说明:如图5，连结CE，取CE的中点H,取EF的中点N，连结NH、MH，类似方法三，也可以证明BECF。例3.如下图，在

8、矩形ABCD中，E为CB延长线上一点且ACCE，F为AE的中点。求证：BFFD。ADADHFFEBCEBC【证明】：延长BF、DA相交于点H，再联结DB，则可得“八字型”全等三角形；∵F为AE的中点∴EFFA在AFH与EFB中：FAHFEB∵FAFE∴AFH≌EFBAFHEFB∴FHFB，AHBE∴DH