高中必修1-5错误解题分析系列-《13.3 算法案例》

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1、§13.3算法案例一、知识导学1.算法设计思想:(1)“韩信点兵—孙子问题”对正整数m从2开始逐一检验条件,若三个条件中有任何一个不满足,则m递增1,一直到m同时满足三个条件为止(循环过程用Goto语句实现)(2)用辗转相除法找出的最大公约数的步骤是:计算出的余数,若,则为的最大公约数;若,则把前面的除数作为新的被除数,继续运算,直到余数为0,此时的除数即为正整数的最大公约数.2.更相减损术的步骤:(1)任意给出两个正数,判断它们是否都是偶数.若是,用2约简;若不是,执行第二步.(2)以较大的数减去较小的

2、数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数.(3)二分法求方程在区间内的一个近似解的解题步骤可表示为S1取[]的中点,将区间一分为二;S2若,则就是方程的根;否则判别根在的左侧还是右侧:若,,以代替;若,则,以代替;S3若,计算终止,此时,否则转S1.二、疑难知识导析1.表示不超过的整数部分,如,但当是负数时极易出错,如就是错误的,应为-2.2.表示除以所得的余数,也可用表示.3.辗转相除法与更相减损术求最大公约数的联系与区别

3、:(1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显.(2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到.4.用二分法求方程近似解,必须先判断方程在给定区间[]上是否有解,即连续且满足.并在二分搜索过程中需对中点处函数值的符号进行多次循环判定,故需要选择结构、循环结构,即可用Goto语句和条件语句实现算法.三、经典例题导讲[例1],,,7=

4、.A.16,-1,4,3B.15,0,4,3C.15,-1,3,4D.15,-1,4,3错解:根据表示不超过的整数部分,表示除以所得的余数,选择B.错因:对表示的含义理解不透彻,将不超过-0.05的整数错认为是0,将负数的大小比较与正数的大小比较相混淆.正解:不超过-0.05的整数是-1,所以答案为D.[例2]所谓同构数是指此数的平方数的最后几位与该数相等.请设计一算法判断一个大于0且小于1000的整数是否为同构数.错解:算法思想:求出输入数的平方,考虑其个位或最后两位或最后三位与输入数是否相等,若相等,

5、则为同构数.ReadxIfororThenPrintxEndifEnd错因:在表示个位或最后两位或最后三位出现错误,“/”仅表示除,y/10,y/100,y/1000都仅仅表示商.正解:可用来表示个位,最后两位以及最后三位.ReadxIfororThenPrintxEndifEnd[例3]《孙子算经》中的“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”可以用下面的算法解决:先在纸上写上2,每次加3,加成5除余3的时候停下来,再在这个数上每次加15,到得出7除2的时

6、候,就是答数.试用流程图和伪代码表示这一算法.解:流程图为:伪代码为:102030IfThenGoto2040IfThenPrintGoto8050Endif6070Goto4080End点评:这是孙子思想的体现,主要是依次满足三个整除条件.[例4]分别用辗转相除法、更相减损法求192与81的最大公约数.解:辗转相除法:S1S2S3S4S5故3是192与81的最大公约数.更相减损法:S1S2S3S4S5S6S7S8S9故3是192与81的最大公约数.点评:辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次

7、数上辗转相除法计算次数相对较少.辗转相除法是当大数被小数整除时停止除法运算,此时的小数就是两者的最大公约数,更相减损术是当大数减去小数的差等于小数时减法停止,较小的数就是最大公约数.[例5]为了设计用区间二分法求方程在[0,1]上的一个近似解(误差不超过0.001)的算法,流程图的各个框图如下所示,请重新排列各框图,并用带箭头的流线和判断符号“Y”、“N”组成正确的算法流程图,并写出其伪代码.(其中分别表示区间的左右端点)图13-3-2流程图为图13-3-3伪代码为10Read20304050IfThen

8、Goto12060IfThen70100Endif80Else90100Endif110IfThenGoto20120Print130End点评:二分法的基本思想在必修一中已渗透,这里运用算法将二分法求方程近似解的步骤更清晰的表述出来.[例6]用秦九韶算法计算多项式在时的值时,的值为.解:根据秦九韶算法,此多项式可变形为按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当时的值:故当时多项式的值为.点评:秦九韶算法的关键是n次多项式的变形

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