2012线性代数春季非毕业班上半年第二次作业

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1、2012线性代数春季非毕业班上半年第二次作业（涉及三四章内容）一单项选择题1.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（C）A.1B.2C.3D.42.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（D）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，

2、…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=03.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（A）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.η1+η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解4.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（B）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是

3、A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关5.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（A）A.k≤3B.k<3C.k=3D.k>36.时，下面方程组有无穷多解。(C)A、1B、2C、3D、47.设0是矩阵的特征值，则a=（C）.A、-1;B、0；C、1;D、2.二．填空题8.设A=(aij)3×3，

4、A

5、=2，Aij表示

6、A

7、中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2

8、+(a31A21+a32A22+a33A23)2=4.9.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=-10.10.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为η1+c(η2-η1)（c为任意常数）.11.若齐次方程组只有零解，则应满足__λ≠1____。12向量组是线性____相关____（填“无关”或者“相关”）的，它的一个极大线性无关组是__a1，a2，a4______.三计算题13.给定向量组α1=，α2=，α3=，α4=.试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。~~~~所以α4为α1，

9、α2，α3的线性组合，α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）14.求矩阵A=的全部特征值。并求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.15.已知方程组有无穷多个解，求以及方程组的通解。记方程组系数对应的矩阵A=，增广矩阵B=由方程组有无穷多个解得：R(A)=R(B)<3B=~~显然当a=-1时，R(A)=R(B)=2<3，方程组有无穷多个解。所以A=，B=~~则，取x3=0，则x1=-1，x2=3/2，即得方程组的一个解η=在对应的齐次线性方程中取x3=2，则=即得到对应齐次线性方程的基础解系ξ=则通解为=c+（c∈R）四证明题16.设为的一个解，为对应齐次线性方程的基础

10、解系，证明：线性无关。证明：若k0η+k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0由等式两边左乘A得：k0Aη=0，即k0b=0因为b是非零向量,则k0=0所以k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0又ξ1,ξ2…ξn-r线性无关，则k1=k2=…=kn-r=0因为不存在不全为零的数k0,k1,k2,kn-r使得k0η+k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0所以向量组ξ1,ξ2…ξn-r,η线性无关