微专题 等和线的应用

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1、微专题：等和线一、基础知识回顾　　是直线外一点，则三点共线。特别地，为中点时，如图，直线，且直线位于点的同侧，。在直线任取一点设，，连接交直线于点，则必有且，故，我们称直线为等和线。考虑直线，且直线位于点的同侧。若，对于直线任取一点，，同理可得，我们称直线为等和线。　　一般地，我们有如下结论，是直线外一点，满足为定值的所有点的集合是一条平行于的直线，并满足如下性质：（1）时，直线过点；时，直线位于点异侧；时，直线位于点同侧；特别地，时，直线即为直线（2）点到直线与距离之比为。二、典例精讲类型一：直接利用等和线解题例1．（2017新课标Ⅲ）在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上

2、．若，则的最大值为（   ）A．3B．C．D．2解：如图，若点在线段上，则。注意到表达式同起点9，几何上易知点到直线的距离，直线与其过点的平行线间的距离，过点的平行线与另一靠上平行切线间的距离，这三个距离均相等，故可知的两条平行线分别满足与，故的最大值为3，选A。类型二：对向量线性表示表达式变形后利用等和线求解例2．（湖南省长沙市2017届高三年级统一模拟考试）平行四边形中，是平行四边形内的一点，且，若，则的最大值为。解：需求的最大值，。由题，可知点在以为圆心，1为半径的圆弧上，设该圆弧与的交点为，可知，故。当点在直线上时，。作圆弧平行于直线的切线，易知点在该平行线上时，，故的最

3、大值为2。一、解题方法总结　　1、等和线法的结论首先是基于“是直线外一点，则三点共线”这一结论，结合例1例2可知利用等和线解题时需注意三个向量的起点必须相同，若起点不相同，可考虑平移向量从而化为同起点，再利用等和线解题。2、各等和线之和的绝对值之比，等于向量所共起点到各等和线的距离之比。解题时要善于利用这一原理将较为抽象的系数和的问题，转化为更为直观的平行线距离的几何问题。93、由例2可知：当基底前系数和与所求线性关系代数式不一致时，需在原基底基础上重新构造新基底，以使所求线性关系代数式与变换后新基底的系数之和相吻合，再利用等和线解题。一、高考链接1．（2009年安徽）给定两个长

4、度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上变动，若，则的最大值是。解：如图，当为圆弧平行于切线与圆弧的切点时，取最大值22．（2013江苏）设分别是的边上的点，。若，则的值是。解：，考虑用表示为形式，可知分别在等和线上，故满足3．（2017年江苏卷）如图，在同一个平面内，向量的模分别为，与的夹角为，且，与的夹角为，若，则。解：。由，得，设，则。设交于点，则。在中，，解得。点在直线上，直线满足，考虑到，故点在等和线上，所求值为3。9注：本题用等和线法求解略难，感兴趣的读者可考虑建系向量坐标化求解或通过计算求解。4．（2013年安徽）在平面直角坐标系中，是坐标原

5、点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是（）A．B．C．D．解：时，，对应如图区域；时，，对应如图区域，故所求区域即为长方形，易知其面积为，选D。一、巩固提高1．在中，为平面内一点，且为劣弧上一动点，且，则的取值范围为。解：由知为的外心，，由图可知。92．（2017届上海市黄浦区高三4月高考模拟）如图所示，，圆与分别相切于点，点是圆及其内部任意一点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．解：几何上不难知圆半径为，。如图，设圆平行于直线的两切线与圆的切点为，可知。直线为等和线，注意到点到直线的距离为为，故点处的两切线分别为等和线，选B。3．（浙江省湖州、衢州、丽水三市2017届高

6、三4月联考）已知是的外心，，则，则的取值范围是()A．B．C．D．解：如图，，点位于优弧（不含）上，易知，可知直线，点处的切线分别为等和线，故，选B。4．在平面直角坐标系内，函数的图象与函数图象交于两点，点为函数图象上动点，且，则取最小值时，的坐标为（）A．B．C．D．9解：由图易知当在点处的切线平行于直线时，最小。令，得，故点坐标为为，选A。5．（湖南省长沙市2017届高三年级统一模拟考试）平行四边形中，是平行四边形内的一点，且，若，则的最大值为。解：由题点在以为圆心1为半径的圆弧上，设该圆弧交于点，交于点，则，可知直线，圆弧平行于的切线分别为等和线，故的最大值为2。96．（2

7、018年黄冈中学三模）如图，在扇形中中，，为弧上的一个动点，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．解：如图，点在直线上且满足，故，直线为等和线，易知过点且平行于的直线为等和线，选C。7．（四川省资阳市2017届高三4月模拟考试）如图，在直角梯形中，，∥，，，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是A．B．C．D．解：需求解取值范围，。如图，作点使得，易知三点共线，容易得等和线如图。设圆弧平行于的切线切圆弧于点，则，已知点到