微专题之等和线

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1、微专题之平面向量基本定理系数的等和线【适用题型】在平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。【基本定理】（一）平面向量共线定理已知，若，则三点共线；反之亦然（二）等和线平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。（1）当等和线恰为直线时，；（2）当等和线在点和直线之间时，；（3）当直线在点和等和线之间时，；（4）当等和线过点时，；（5）若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；【解题步骤及说明】1、确定等值线为1的线；22、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行

2、域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。【典型例题】例1、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上变动。若，其中，则的最大值是__________。跟踪练习：已知为的外心，若，，则的最大值为_______例2、在平面直角坐标系中，为坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域面积为________

3、__________.例3、如图，在扇形中，，为弧上不与重合的一个动点，，若存在最大值，则的取值范围为__________.跟踪练习：在正方形中，为中点，为以为直径的半圆弧上任意一点，设，则的最小值为_____________.【强化训练】1、在正六边形中，是三角形内（包括边界）的动点，设，则的取值范围__________.2、如图，在平行四边形中，为边的三等份点，为的交点，为边上的一动点，为内一点（含边界），若，则的取值范围__________.3、设分别是的边，上的点，，，若（为实数），则的值为_____________.4、梯形中，，，，为三角形内一点（包括边界）

4、，，则的取值范围__________.5、已知，，点在内，且，设，则的值为____________.6、在正方形中，为中点，为以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设，则的最小值为_____________.7、已知，为实数）。若为以为直角顶点的直角三角形，则取值的集合为_______。8、平面内有三个向量，其中夹角为，的夹角为，且，，若，则的值为____________________。9、如图，是圆上的三点，的延长线与线段的延长线交于圆外的点，若，则的取值范围为___________。10、已知为的外心，若，，且，则=________.11、已知是两个互相垂直的单位向

5、量，且，则对任意的正实数，的最小值为_______________.