概率论及数理统计答案

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1、-.习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：XY01231003002.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：XY0123000102P(0黑,2红,2白)=03.设二维随机变量〔X，Y〕的联合分布函数为F〔x，y〕=.word.zl.-.求二维随机变量〔X，Y〕在长方形域的概率.【解】如图题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量

2、〔X，Y〕的分布密度f〔x，y〕=求：〔1〕常数A；〔2〕随机变量〔X，Y〕的分布函数；〔3〕P{0≤X<1，0≤Y<2}.【解】〔1〕由得A=12〔2〕由定义，有.word.zl.-.(3)5.设随机变量〔X，Y〕的概率密度为f〔x，y〕=〔1〕确定常数k；〔2〕求P{X＜1，Y＜3}；〔3〕求P{X<1.5}；〔4〕求P{X+Y≤4}.【解】〔1〕由性质有故〔2〕(3)(4).word.zl.-.题5图6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在〔0，0.2〕上服从均匀分布，Y的密度函数为fY〔y〕=求：〔1〕X与Y的联合分布密度；〔2〕P{Y≤X}.题6图【解】〔1〕因X在〔0，0.

3、2〕上服从均匀分布，所以X的密度函数为而所以.word.zl.-.(2)7.设二维随机变量〔X，Y〕的联合分布函数为F〔x，y〕=求〔X，Y〕的联合分布密度.【解】8.设二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为f〔x，y〕=求边缘概率密度.【解】题8图题9图9.设二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为.word.zl.-.f〔x，y〕=求边缘概率密度.【解】题10图10.设二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为f〔x，y〕=〔1〕试确定常数c；〔2〕求边缘概率密度.【解】〔1〕得.(2).word.zl.-.11.设随机变量〔X，Y〕的概率密度为f〔x，y〕=求条件概率密度fY｜X〔y｜x〕，fX｜Y〔

4、x｜y〕.题11图【解】所以.word.zl.-.12.袋中有五个1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个中最小的为X，最大的为Y.〔1〕求X与Y的联合概率分布；〔2〕X与Y是否相互独立？【解】〔1〕X与Y的联合分布律如下表YX345120300(2)因故X与Y不独立13.设二维随机变量〔X，Y〕的联合分布律为XY2580.40.150.300.35.word.zl.-.0.80.050.120.03〔1〕求关于X和关于Y的边缘分布；〔2〕X与Y是否相互独立？【解】〔1〕X和Y的边缘分布如下表XY258P{Y=yi}0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.

5、20.20.420.38(2)因故X与Y不独立.14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在〔0，1〕上服从均匀分布，Y的概率密度为fY〔y〕=〔1〕求X和Y的联合概率密度；〔2〕设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.【解】〔1〕因故题14图(2)方程有实根的条件是.word.zl.-.故X2≥Y，从而方程有实根的概率为：15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命〔以小时计〕，并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f〔x〕=求Z=X/Y的概率密度.【解】如图,Z的分布函数(1)当z≤0时，〔2〕当0

6、5图.word.zl.-.(3)当z≥1时，〔这时当y=103时，x=103z〕〔如图b〕即故16.设某种型号的电子管的寿命〔以小时计〕近似地服从N〔160，202〕分布.随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，那么Xi~N〔160，202〕，从而17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为P{X=k}=p〔k〕，k=0，1，2，…，.word.zl.-.P{Y=r}=q〔r〕，r=0，1，2，….证明随机变量Z=X+Y的分布律为P{Z=i}=，i=0，1，2，….【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，所以于是18.设X，Y

7、是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布.【证明】方法一：X+Y可能取值为0，1，2，…，2n.方法二：设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布〔参数为p〕，那么.word.zl.-.X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,所以，X+Y服从参数为〔2n,