毕业论文-矩阵在计算机三维图形变换中的应用

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1、矩阵在计算机三维图形变换中的应用(山东师范大学数学科学学院信息与计算科学系)摘要：论述如何利用矩阵的变换性质实现计算机的三维图形变换，主要是通过平移、缩放和旋转三种基本变换的组合来实现的，利用矩阵可以使图形处理高速化．关键词：平移缩放旋转1.引言三维图形图象的处理，显示和形体构造需要使用三位几何变换，这些变换是通过基本的平移，缩放和旋转组合而成的，每一个变换都可以表示为矩阵变换的形式，通过矩阵的相乘或连续可以构造复杂的变换。2．矩阵与图形变换计算机对图形的处理，经常用到各种变换，若用解析式表示坐标变换，计算过

2、程和缩放程序都很复杂，用矩阵表示图形的坐标变换，特别是复合变换就显得比较简单，利用矩阵进行计算，可使图形处理高速化。事实上，对于一个空间图形，图形上每一个点都对应着唯一的坐标(x，y，z)，它的标准化齐次坐标为一个四维的向量。几何变换及配准和运动估计的几何代数方法研究摘要自从70年代中期计算机图形学出现以来，基本上都是用线性代数为其数学框架。现在将要使用的另一个数学系统是几何代数，尤其是五维共形几何代数，它统一了图形学中使用的各种数学系统，能够以简便和富有几何直观的方式应用于图形学。本文探讨了几何代数在计算机

3、图形学中的应用。主要研究了(1)对几何代数的结构特性、对几何变换的描述、计算手段等方面做了系统的分析研究。几何代数是在Clifford代数的基础上，建立的一种更具概括性数学语言。本文在分析传统矩阵代数,Herman,G-rassman向量代数和W．R．Hamilton四元数代数与几何代数的区别和联系的基础上，由几何代数的运算性质，推导了三维空间几何变换的线性表达。实验验证分析表明一些变换的表达采用几何代数法It',Goldman四元数代数的结果表达式更简洁、高效，且数学描述等价。(2)欧拉空间中旋转操作是一个

4、线性操作，而平移操作不是。由于平移位移操作的非线性特性，刚体位移不再具有线性操作。应用几何代数旋量代数、马达代数得到了三维刚体位移的线性表达，并将其应用于了刚体运动描述，实验验证它对三维运动的几何解释比基于矩阵代数的方法更简单。(3)应用几何代数对最小平方距离的问题表达式于多边形模型配准与运动估计，采用一个能同时解决线段模型的配准与运动估计的算法，通过最小化模型线段与待配准线段集的距离，来求得最佳运动估计中的运动变换。关键词：几何代数，几何变换，运动估计，刚体运动第1章前言1．1课题来源、提出背景及意义本课题

5、来源于国家重点基础研究发展计划973计划课题——数学机械化在几何建模中的应用研究(项目编号：2004CB)。Clifford代数由W．KClifford在1878年建立，它结合Hamilton的四元数和Grassmann的扩张代数，能够进行高维的几何计算和分析，被C1ifford取名为几何代数。在历史上，E．Cartan，R．Brauer，H．Eeyl，M．Riez，C．Chavalley等著名数学家对它做出了重要贡献。特别是自1960年起，几何代数在微分几何，理论物理，经典分析等方面取得了辉煌的成就，其发展

6、突飞猛进。尤其是美国物理学家，数学家DavidHenstenes⋯嘲‘删驯的研究尤为重要，他把几何代数的思想运用到经典物理分析等方面，并指出几何代数是一种统一的数学语言，通过这种语言的描述，可以在研究工作中获得大量的有效方便的研究方法。20世纪计算机科学的发展复兴了一大批长期沉寂的代数语言，例如线性代数和矩阵(1940s)：数值计算射影几何的齐次坐标(1950s)：计算机图形学对偶四元数(1970s)：机器人C1ifford代数和几何代数(1970s)：理论物理Grassmann—Cayley代数(1980s

7、)：计算机视觉距离几何(1980s)：蛋白质分子构型这种复兴的背后反映了信息技术的一种迫切的需求，即迫切需要“新的"代数工具来更好的解决几何问题，包括通用，简洁的几何建模和快速，鲁棒的几何计算。在此形势下，设计真正的几何语言进行几何计算的问题，重新引起人们的重视。于是一种的新的几何语言共形几何代数(CGA)产生了。1997年，李洪波在D．Hcstcnes教授和A．Rockwood教授nomlm龇133领导的NSF基金项目ModelingWorkstation中做博士后工作，建立了共形几何代数(Conforma

8、lGeometricAlgebra，简记CGA)。共形几何代数是基于高级几何不变量的代数表示和计算系统，是Clifford代数的一个新的分支，主要内容包括表示和计算两部分：(1)十九世纪几何的统合代数表示。CGA为初等几何提供了统一和简洁的齐性代数框架。(2)拥有高效符号几何计算方法的不变量第1章前言代数。几何学的研究主题是几何不变量。不变量系统在几何代数化中具有明显的优点，但原有的系统代数计算效率