数学专业毕业论文-二次型的几个应用

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1、二次型的几个应用Someapplicationsofquadraticform专业:数学与应用数学作　　者:指导老师:学校二○摘要本文在对二次型性质研究的基础上,介绍了半正定矩阵的性质,并对二次型的理论进行了推广,讨论了二次型的应用.关键词:二次型;正定二次型;正交矩阵;不等式;特征方程;极值;因式分解IIAbstractInthispaper,onthebasisofthenatureofthequadraticform,wedescribethepropertyofpositivesemi-defi

2、nitematrixquadraticandpromotethetheoryofquadraticandthendiscusstheapplicationofit.Keywords:quadraticform；positivesemi-definitequadratic；orthogonalmatrix；inequality；characteristicequation；principalminor；factorization.II目录摘要IABSTRACTII0引言11二次型及其有关定义11.1定义1

3、1.2定理及其证明22.二次型的应用32.1一般的元二次式的最值的判定与求法32.2元二次型的特征方程的求法72.3应用举例82.4利用半正定二次型的性质证明不等式92.5二次型在因式分解中的应用13参考文献160引言在数学中,二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题.现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支及物理,力学,工程技术中也常常用到.二次型应用的领域很广,在以前的学习中求一元或多元函数的最值的方法通常有利用图象法或微分理论,而下面将利用二次型的性质来求函数的最值

4、.并给出了半正定矩阵的性质及其证明,最后用半正定矩阵的有关知识解决了一类初等数学中的问题—不等式的证明.关于二次型的一般理论,可参看文献[1-3，5-6],一些专题研究可参看文献[7-9].1二次型及其有关定义在这一节,我们首先回顾《高等代数》中关于二次型的一般理论.设是一个数域,,个文字的二次齐次多项式称为数域上的一个元二次型,简称二次型.当为实数时,称为实二次型.当为复数时,称为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项,即称为标准型.在《高等代数》的教材中,还有以下关于二次型理论的结果,1.1定义第

5、16页,共16页定义1.1二次型可唯一的表示成其中,,为对称矩阵,称上式二次型的矩阵形式,称为二次型的矩阵(都是对称矩阵),称的秩为二次型的秩.定义1.2设是一个数域,,两组文字;的关系式称为由到的一个线性替换.用矩阵形式可写为,其中,当时称线性替换是非退化的(或可逆的,或满秩的).定义1.3设是是数域上的矩阵,如果存在数域上的可逆矩阵.使,则称与合同.定义1.4设是元实二次型.如果对中所有的都有,就称是正定的,如果中所有的都有,就称是负定的,如果对中所有的都有,就称是半正定的,如果对中所有的都有就称是

6、半负定的.1.2定理及其证明定理1.1元实二次型是实对称矩阵,可以经过变量的正交变换为正交阵),化为,这里是矩阵的全部特征值.定理1.2设元实二次型,则在条件第16页,共16页下的最大（小）值恰为矩阵的最大（小）特征值.定理1.3设为阶正定矩阵,与是实向量,为实数,则实函数当时,取得最小值.证明,因正定,所以存在(对称);而,,因此===其中,因正定,故当且仅当时,取最小值0,从而当且仅当,取得最小值.2.二次型的应用2.1一般的元二次式的最值的判定与求法一般的元二次多项式的形式为(2.1.1)而（2.

7、1.1）存在最值的充要条件为(2.1.2)第16页,共16页存在最值(上式中),故只需要对(2.1.2)进行讨论.定理2.1实元多项式(2.1.2),它的矩阵为,秩为,对(2.1.2)作非退化的线性替换,,其中,那么,(i)当半正定时;1若,则(2.1.2)存在最小值;2若,一次项所含新变数均在平方项中出现,则(2.1.2)有最小值;3若,一次项所含新变数至少一个不在平方项中出现,则(2.1.2)不存在最值.(ii)当半负定时:1若,则(2.1.2)存在最大值;2若,一次项所含新变数均在平方项中出现,则

8、(2.1.2)有最大值;3若,一次项所含新变数至少一个不在平方项中出现,则(2.1.2)不存在最值.(iii)不定,则(2.1.2)不存在最值.证明(i)令,则(2.1.2)改写为:(2.1.3)因半正定,故存在可逆矩阵,使,对(3)作非退化线性替换,变为(2.1.4)其中,而,其中.(1)若,,这时(2.1.4)变成,.等号成立当且仅当时取得,此时将代入第16页,共16页得唯一一组的解,此即取最值的点.(2)若,因正定,故的秩等于它的正惯