数学专业毕业论文--常数变易法的几个常见应用

《数学专业毕业论文--常数变易法的几个常见应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、常数变易法的几个常见应用摘要：众所皆知，常数变易法是用来解线性微分方程行之有效的一种方法，那么，何为常数变易法？简单的说，是将常数变易为待定函数的方法。常数变易法是常微分方程解决一阶非齐次线性微分方程的常用方法，本文主要就常数变易法在一阶非齐次线性微分方程中的应用来探究常数变易法在解微分方程中的重要性，并且由一阶非齐次线性微分方程推广到一类特殊的一阶非线性微分方程中来，探讨常数变易法在一阶非线性微分方程中的应用。最后，通过对常数变易法的了解，举例说明它在中学数学中应用的灵活性。关键词：常数变易法；一阶非齐次线性微分方程；一阶非线性微分方程；中学数学1常数变易法在一阶非齐次线

2、性微分中的应用一阶非齐次线性微分方程的标准形式：^-=P（x）y+e（x）（1.1）ax其屮p（x）和e（x）在考虑的区间上是％的连续函数。解法详见用常数变易法求解一阶非齐次线性微分方程#=/*）＞，+2以），我们可以得dx到一阶非齐线性微分方程的通解＞，=2⑺jM'Zr+c%例、求方程x全-3x3y=x3的通解。dx解题思路：不难发现，=化成一般形式@=3x2＞，+x2属于一阶dxdx非齐次线性微分方程的标准形式，因此我们吋以应用常数变易法的方法來求解。解题过程：将方程化成一般形式@=3x2y+x2①dx（1）求一阶齐次线性微分方程：^-=3x2y的通解，求得它的通解为

3、dxy=cex'（c为任意常数）。（2）作变量代换，即将常数e变易为待定函数巾）得y=c（x）eA②微分之，得1=^Z+3x2c（x）Z③dxdx将方程（2）、（3）代入方程（1）并整理得dx积分后得到c（x）=--e~x'+c（dj任意常数）④3⑶通过代换方程④代入②得①的通解为y=?这里c'为任意常数。分析：单从求解过程来看，常数变易法对干求解一阶非齐次线性微分方程来说是比较简便，从此例我们得出应用常数变易法即可求得~阶非齐线性微分方程的通解.现我们把一阶非齐线性微分方程的常数变易法推广到一阶非线性微分方程：字=2+，中来。dxxx）2常数变易法在一阶非线性微分尝十/

4、吻对于形如dxx/（砌⑷[31中的应用（2.1）的方程，这里/（＞，）、分别在所考虑的区间上连续r若/u）gf2^o,则（2.1）可转化为这类方程即变量分离方程，dxx口J'解得通解为:V=（c为任意常数）。2若/Cx焓这就是我们今天所要求解的一阶非线性微分方程字的通解。dxxx）这里我们借助常数变易法来求解，分成三步骤：（1）取一阶齐次非线性微分方程：=（2.2）dxx(2.3)(2.7)应用变量分离的方法求得它的通解：3-cx(c为任意常数)(2)将(2.3)变量代换，即将常数c变易为待定函数c(;v)得y=c(x)x(2.4)微分之，得=(2.5)dxdx将方程(2

5、.5)、(2.4)代入方程(2.1)并整理得^j^-x=f(x)g(c(x))(2.6)dx通过变量分离设(2.6)所求得的解为cCr)=GU)+cz(3)最后，通过代换方程(2.7)代入(2.4)求得通解为例：求解微分方程=—y=(G(x)+c)x(c为任意常数)。ClxXXJ(1)取一阶齐次非线性微分方程：dxx求得它的通解：＞，=cx(C为任意常数)①⑵将①屮常数C变易为待定函数cCO得y=c(x)x②微分之，得=③dxdx将方程②、③代入原方程并整理得^=3aV(x)④dx通过变量分离求得④的解为c(x)=--；⑤•T+C⑶通过代换方程⑤代入②求得通解为y=—(c

6、7为任意常数)。X.+C常数变易法中中学数学上的运用事实上，常数变易法不仅在求解微分方程吋有用，它的解题思路已经扩散到数学的各个领域，在中学数学上也常用这种方法来求解一些问题。在这边，我们通过几个例子来了解常数变易法在中学数学解题的方便性。例1、（在方程中的运用）解方程a/x2+8x+17+a/x2-8x+17=10。解：将原方程变形为7（^+4）2+1+7（x_4）2+1=10运用常数变易法将此方程中的常数“1”变成变量“/”，则7（x+4）2+）’2+7U-4）2+y2=10根据椭圆的定义町知，这个方程是以f（-4,0）,F2（4,0）为焦点，长轴长22为10的椭圆。因

7、此我们可得其方程为：=1,259最后将>，2=1代入，得x二土^即为原方程的解。3例2、（在三角屮的运用）设9cos6T+3sin/?+tan/=0（1）sin2y^-4cos6rtan/=0（2）求证：

8、COS6Z

9、<丄。6证明：在（1）式中，把常数“3”通过变易为变量“x”，则（1）式可化为x2cos6Z+xsin+tan/=0（3）若COS<7=0，则不等式

10、cOS6z

11、S丄成立；6若cosafO,则（3）式是关于％的一元二次方程，再由（2）式可知（3）式的判别式为0，•••（3）式有W个和等的根$=%2=3