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《数学与应用数学毕业论文-矩阵对角化问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、平顶山学院本科毕业论文（设计）高等代数中，在讲到线性空间和线性变换时，一个主要内容是讨论矩阵对角化,即在什么条件下矩阵与对角矩阵相似.而矩阵对角化的原始问题是：设是有限维复线性空间,是上的线性变换，能否在中找到一个基,使得在这个基下的矩阵比较简单.作为纯粹的几何问题就是能否分解成一些不变子空间的直和.讨论这个几何问题的证明对于了解线性空间有很大好处.本文将对分解成所谓根子空间的直和给出一种较为初等的证明，并由根子空间分解定理推出线性变换(或阶方阵)可对角化的充要条件.把这些充要条件与其他线性变换（或阶方阵）可对角化的充要条件进行汇总比较，从而得到线性变换的矩阵对角化的方法的优劣，便于学习和研究
2、根据具体情况选用.1．预备知识1.1有关定义定义1.1.1线性空间一个变换称为线性变换，如果对于中任意的元素和数域中任意数K都有(+)=（）+（）(）=()定义1.1.2设是数域上的线性空间的线性变换，W是的子空间，如果W中的向量在下像仍在W中，换句话说，对于W中任一向量，有,我们就称是的不变子空间，简称-空间.定义1.1.3设,线性空间的子空间，如果和+中每个向=+,是唯一的,这个和就称为直和.定义1.1.4如果数域上的阶矩阵A相似于对角阵，则可对角化定义1.1.5设是数域上的阶矩阵，如果数域上的多项式使得=0,则称以为根.在以为根的多项式中次数最低且首相系数为1的多项式称为的最小多项式.1
3、7平顶山学院本科毕业论文（设计）定义1.1.6设是数域上的维线性空间的线性变换，如果存在非零向量,数,N,使得，那么称为属于的根向量.线性变换的属于特征根的根向量的全体，再添上零向量所组成的的子集是的一个子空间，称的这个子空间为的属于特征值的根子空间.Sylvester不等式设均为阶矩阵，秩（）+秩()+秩（）1.2线性空间根子空分解定理引理设是n维复线性空间V的线性变换,是的所有不同的特征值,且其中是V的全部根子空间,则在上为幂零线性变换,而在上为可逆线性变换.证明不失一般性,只证明在上为幂零线性变换,而在上为可逆线性变换.在中取一个基,则有正整数,使,i=1，2，…,t,取p=max,有,
4、i=1,2…t,于是对任意，令,则=()=,即在上,=(为零变换),所以在上为幂零线性变换.令W=,若不可逆,则一定有一个特征根是0,因而在W上有属于特征根0的特征向量(∈W),即有==0,亦即(0).又因∈W=,所以有=,其中(i=2,…,s)于是有正整数,使,i=2,…,s,令,则τ()==0,i=2,…,s,从而τ()=τ()+…+τ(ξs)=0,另一方面,因为，又()==这就导致了矛盾.所以在上为可逆线性变换.17平顶山学院本科毕业论文（设计）定理1.2.1(根子空间分解定理)设是维复线性空间V的线性变换,是的所有不同的特征值,是属于的根子空间,i=1,2,…,s,则.证明设的特征多项
5、式为令i=1,2,…,s,则互素,于是有多项式,使,将代入上式,得,(为单位变换),任给ξ∈V,有ξ=(ξ)=ξ=,记,i=1,2,…,s,于是.下面证明,i=1,2,…,因为,由哈密尔顿-凯莱定理(为零变换),于是有=（为零变换）即,i=1,2,…,s,所以,又显然,故.再证明上面的和是直和,设,i=1,2,…,s由引理知在上为幂零变换，所以存在正整数,使得在上(为零变换),又由引理，在上为可逆变换,所以在上也是可逆变换,于是0==（）=+（）=（）从而=0,于是,i=1,2,…s,由零向量的表法唯一知根子空间分解定理全部证完.17平顶山学院本科毕业论文（设计）运用根子空间分解定理可以推出一
6、些矩阵对角化的充要条件.对角矩阵可以认你为是矩阵中最简单的一种，一些复杂的矩阵可以通过适当的方法化为对角阵.通过相应对角阵的研究学习,可以推知这些复杂矩阵的性质,促进对复杂矩阵的了解,简化很多复杂工作,给学习和研究带来很大方便.下面就矩阵对角化的充要条件作一详细论述.2.矩阵可对角化的一些充要条件及矩阵对角化方法2.1特征向量法定理2.1.1设是维线性空间V的一个线性变换,的矩阵可以在某一组基下为对角阵充要条件是,有个线性无关的特征向量.证明设在基下具有对角阵.即i=1,2…n因此,就是的个线性无关的特征向量.反过来,如果有个线性无关的特征向量,那么就取为基.显然,在这组基下的矩阵是对角阵.证
7、毕.例1.设线性变换在基下的矩阵是(1),(2),问A是否可以对角化?解(1)因为特征多项式为=所以A的特征值是-1(二重)和5把特征值-1代入齐次方程组得(1)17平顶山学院本科毕业论文（设计）解得基础解系是和因此属于-1的两个线性无关的特征向量是把特征值5代入(1)得基础解系,所以属于5的全部特征向量为则在基下的矩阵为B=(2)==，所特征值为1(二重)和-2.对应特征值1的特征向量为对应特征
