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1、题目全微分方程及积分因子研究学生姓名学号所在学院数学与计算机科学学院专业班级数应1102班指导教师完成地点陕西理工学院2015年5月30日全微分方程及积分因子的研究（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业1102班，陕西汉中）指导老师：【摘要】微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言。对于全微分方程我们有一个通用的求解公式。但是，并不是所有的微分形式的一阶方程都是全微分方程。对于这类不是全微分方程的一阶常微分方程该如何求出它的解呢，这就需要用到这里我们讨论的积分因子了。【关键词】全微分方程；积分
2、因子；常微分方程。1.预备知识1.1全微分方程常微分方程理论研究是近代数学中的重要分支，有着300多年的历史，又因为是近代数学中富有生命力的分支之一，所以他与实际问题是密切相关的。在数学的世界里，尤其是数学应用，常微分方程具有的重大意义有很多。例如：我们可以把很多物理与技术的问题规划为常微分方程的求解问题；有自动控制、各种电子学装置的设计与运用、弹道的计算、飞机与导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。除此以外，全微分方程还在生态学、人口学、医学等的模型的建立中起到了不可替代的作用。有关于常微分方
3、程及积分因子求解技巧的研究是十分有理论与应用价值、且有必要的，因为，它可以更好更迅速地帮助人们解决不同类型的全微分方程的求解。虽然不是所有的微分方程都是全微分方程，但是全微分方程是可以通过求出它的积分来求出它的通解。想要将求其通解将变得更加简单，你可以尝试将一个非全微分方程转化为一个全微分方程。所以，我们可以通过寻求微分方程的各类积分因子，用化微分方程给全微分方程求解，来给解题带来更大的便利，这都是本文所提到的。第13页共13页2.全微分方程2.1全微分方程的定义与充要条件定义若有函数,使得,则为全微分方程.
4、此时,微分方程的解就是.定理2.1设函数和在一个矩形区域R中连续且有连续的一阶偏导数,则是全微分方程的充要条件是.证明:先证必要性.设是一个全微分方程,则有函数,使得.故有,.计算的二阶混合偏导数得,.由于和都是连续的,从而有.故成立.再证充分性.设和满足式,需构造出满足式的,即满足,的函数第13页共13页.在矩形R中取定一点,令是R中的一个动点.为了使满足,选取,其中,是一个待定的函数，适当选取后,可以使满足.对上式关于y求偏导得,再利用条件得到.为了使成立，只需使函数满足,即只要选取即可.这样就找到一个满
5、足的函数.所有与相差一个常数的函数都满足.定理证毕.2.2全微分方程的积分当是全微分方程时，可以用三种方法来求解.第一种是线积分法；第二种是偏积分法；第三种是凑微分法。1.线积分法例2.2.1验证方程是全微分方程,并求出他的通解.解:由于,,,所以方程是全微分方程.下面用线积分法来求它的通解.由于和在全平面上连续,故取为坐标原点,由公式第13页共13页得故原微分方程的通解为,其中,为任意常数.2.偏积分法例2.2.2验证方程是全微分方程,并求出它的通解.解:由于,,,故是全微分方程.用偏积分法来求原方程的通解
6、.由于所求的函数满足,,由偏导数的含意知只要将看成常数,将对积分得.对关于求偏导得满足的方程为,即,只需取即可,所以原微分方程的通解为.3.凑微分法例2.2.3验证方程是全微分方程,并求出它的通解.解:由于,,,故方程是全微分方程,用凑微分法求它的通解.根据二元函数微分的经验,将方程重新分组整理得第13页共13页.注意到,,,所以,原方程的通解为.从以上三个例子可以看得出全微分方程里的三种积分方法各有各的特点：线积分法是直接代公式；偏积分法是利用定理2.1证明过程中的思想，积分两次得到F(x,y)；凑微分法是
7、十分简练一种运算方法，是二元函数微分法的逆运算，但要掌握这一运算方法是需要一定的经验的。所以我们可以根据实际的情况来选择哪种方法。3积分因子3.1积分因子的定义和充要条件定义对于一阶微分方程如果存在连续可微的函数,使得为一全微分方程，即存在函数，使得，则称为方程的积分因子。引理函数为方程的积分因子的充要条件是.积分因子存在的充要条件是形式千变万化的，是因为积分因子的形式各异导致的，下面将给出不同形式的积分因子存在的充要条件。定理3.1微分方程有一个仅依赖于的积分因子的充要条件是仅与有关.且积分因子.这里.定理
8、3.2微分方程有一个仅依赖于的积分因子的充要条件是仅与有关.且积分因子.这里.第13页共13页例3.3.1求微分方程的通解.解:对方程,,故它不是全微分方程.又因为,它与无关,由定理3.1知原方程有一个仅与有关的积分因子.且积分因子为.我们同时乘以原方程两边的积分因子得,这是一个全微分方程.利用全微分方程求积的方法得原方程的通解为.例3.3.2求微分方程的通解.解:由于,,,故方程不是全微分方程.因
