全微分方程与积分因子法

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1、2009年2月第12卷·第1期宿州教育学院学报全微分方程与积分因子法段志霞卫艳荣（济源职业技术学院河南·济源454650）【摘要】给出了全微分方程通过积分可以求出它的通解，并提供了采用积分因子法把一阶微分方程转化为全微分方程来求解的一种方法．【关键词】全微分方程积分因子法通解【中图分类号】O175【文献标识码】A【文章编号】1009－8534（2009）01－0154－03一、预备知识从（3）式出发，把看成参数对进行积分，解这个方程得1．一个一阶微分方程写成到μ（x，y）＝∫P（x，y）dx＋g（y）（5）P（x，y）dx

2、＋Q（x，y）（1）其中g（y）为y的任意可微函数。我们现在来选取g（y）使形式后，如果它的左端恰好是某一个函数的全微分坠U坠dg（y）它同时满足（4）式，即＝∫P（x，y）dx＋＝Q（x，y）坠y坠ydydu（x，y）＝P（x，y）dx＋Q（x，y）dy由此那么方程（1）就叫做全微分方程．这里dg（y）坠坠U坠U＝Q（x，y）－∫P（x，y）dx＝ρ（x，y），＝Q（x，y），dy坠y坠Χ坠y有那么方程（1）就是du（x，y），所以u（x，y）＝C就是全微分方g（y）＝∫［Q（x，y）－坠∫P（x，y）dx］dy（6）坠

3、y程（1）的隐式通解，其中C为任意常数．将（6）式代入（5）式中即求得2．曲线积分的有关定理坠设函数P（x，y），Q（x，y）在单连通域G上有一阶连续偏导μ（X，Y）＝∫P（x，y）＋dx＋∫［Q（x，y）－坠y∫P（x，y）dx］dy数，则G在内曲线积分∫LPdx＋Qdy与路径无关的充分必要条件从而全微分方程的通解为是等式坠P＝坠Q（2）∫P（x，y）dx＋∫［Q（x，y）－坠∫P（x，y）dx］dy＝C坠y坠x坠y在G内恒成立．这里C为任意常数．3．当条件（2）不能满足时，方程（1）就不是全微分方程．这例1求解（y－x

4、3）dx＋（x＋y3）dy＝0时如果有一个适当的函数μ（X，Y）（μ（X，Y）≠0，使方程（1）在解：这里，P（x，y）＝y－x3，Q（x，y）＝x＋y3乘上μ（x，y）后所得的方程μPdx＋μQdy＝0是全微分方程，则坠P坠Q这时＝1＝函数μ（x，y）叫做方程（1）的积分因子．坠y坠x二、全微分方程的一般解法因此这是全微分方程．坠P坠Q求μ（x，y）使它同时满足如下两个方程1．按照＝为全微分方程充分条件的证明过程可得坠y坠x坠u＝y－x3，坠u＝x＋y3，坠U坠x坠y第一种解法．求μ（x，y）使它满足＝p（x，y）坠x由

5、坠u3中对x积分（把y看成常数），得到＝y－x（3）坠x和坠U＝Q（x，y）（4）μ（x，y）＝yx－1x4＋g（y），其中g（y）为y的任意函数。现选坠y4*[收稿日期]2008－12－10[作者简介]段志霞（1972—）女，河南济源人，在读研究生，济源职业技术学院讲师。卫艳荣（1968—）女，河南济源人，济源职业技术学院讲师。154第12卷·第1期Vol.12，No.1宿州教育学院学报2009年2月JournalofSuzhouEducationInstituteFeb.2009取g（y）使它满足坠u＝x＋y3，即，x

6、＋g（y）＝x＋y3，g（y）＝y3的读者来说，就用全微分方程的充分条件的证明过程或“分项坠y组合”的方法来处理．在做题时严格按照定义找到对应P和Q，所以g（y）＝1y4＋C1（C1为任意常数）．然后选择合适的方法来求解．4三、积分因子法故所求通解为μ（x，y）＝yx－1x4＋1y4＋C1＝＋C2（C2为任意寻找积分因子，把一阶微分方程化为全微分方程，一般说44常数）。来，不是一件容易的事．常用的方法有观察法和公式法．即yx－14141．观察法x＋y＝C，其中C＝4（C2－C1）为任意常数。44有时，我们可以用观察法得出积

7、分因子，如我们熟悉的微一般情况下，当判定方程为全微分方程后，并不需要按照ydx－xdyx分方程ydx－xdy＝0不是全微分方程．但由于＝d（），y2y上述方法来求解，而是采取“分项组合”的办法，先把那些本身已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分．但这种方法可知1是一个积分因子，不难验证，1和1也都是积分因子．y2xyx2要求熟记一些简单二元函数的全微分，如ydx－xdyx乘上其中任一个并积分，便能得到所求方程的通解x＝C．ydx＋xdy＝d（x，y）＝d（）yy2y现用积分因子法解一阶线性方程y＋P（x）y＝Q（x）．

8、（8）－ydx＋xdyxydx－xdyx＝d（）＝d（ιn｜｜）∫p（x）dxx2yxyy以只含x的积分因子μ（x）＝e乘方程（8），得ye∫p（x）dx＋yp（x）e∫p（x）dx＝Q（x）e∫p（x）dxydx－xdyxydx－xdy1x－y＝d（arctg）＝d（ιn｜｜）x2＋y2yx2－y22