用积分因子法解常微分方程.pdf

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1、用积分因子法解常微分方程摘要当一个方程为恰当方程时，可以运用求解恰当方程的方法进行求解，因此非恰当微分方程转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要.此论文主要研究几类微分方程积分因子，从而使微分方程的求解变得较简便.关键词微分方程；恰当微分方程；积分因子；通解AbstractWheneachdifferentialequationthroughintotheappropriateequation,canusetheappropriateequ

2、ationsforsolvingnonappropriateformula,thedifferentialequationistransformedintoanappropriateequationisanimportantstepinsolvingdifferentialequations,intotheappropriateequationrequiresthesolutionoftheintegralfactor,thussolvingtheintegralfactorbecomesveryimpo

3、rtant.Thispapermainlyresearchforseveralkindsofdifferentialequationofintegralfactor,tomakeiteasyforsolvingdifferentialequations.KeyWordsDifferentialequation；Exactdifferentialequation；Integratingfactor；Generalsolution自变量只有一个的微分方程称为常微分方程.常微分方程是数学分析或基础数学的一个重要

4、的组成部分，在整个数学大厦中占据着重要的位置.本文通过运用求微分方程[1]的积分因子来将微分方程转化为恰当微分方程求解.1.恰当微分方程1.1常微分方程联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.方程第1页共19页2dydybcyft(),（1.1）dt2dt2dydyty0（1.2）dtdt就是常微分方程的例子，这里y是未知数，t是自变量.1.2恰当微分方程考

5、虑一阶方程Mxydx(,)Nxydy(,)0（1.3）这里假设Mxydx(,)，Nxydy(,)在某区域内是连续函数且具有连续的一阶偏导数.若方程（1.3）的左端恰好是某个二元函数uxy(,)的全微分，即Mxydx(,)Nxydy(,)duxy(,)（1.4）则称（1.3）为恰当微分方程（全微分方程）.恰当微分方程（1.3）的通解就是uxy(,)c,（1.5）这里c是任意常数.[2]定理1设函数Mxydx(,)和Nxydy(,)在一个矩形区域R中连续且有连续的一阶偏导数，则称（2.1）为恰当微分

6、方程的充要条件是Mxy(,)Nxy(,).（1.6）yx1.3恰当微分方程的解法方法1凑微分法利用熟知的二元函数微分公式，重新分组组合，分块凑成全微分式.方法2不定积分法利用关系式Mxydx(,)Nxydy(,)duxy(,)由此，函数uxy(,)应适合方程组uuMxy(,),Nxy(,)xy第2页共19页u对Mxy(,)关于x积分得xuMxydx(,)()y两端关于y求导数，并利用恰当微分方程的充要条件，得uM'N'dx()ydx()yNx

7、y(,)yyx通过对方程N'dx()yNxy(,)x关于y积分，解出()y，从而可得uMxydx(,)()y的表达式，令Mxydx(,)()yc即得方程的通解.u如果对Nxy(,)关于y积分，同理可得方程的通解为xNxydx(,)()xc其中()x可类似于()y求解的方法得到.方法3公式法方程的通解为xyMxydx(,)Nxydy(,)cxy000xy或Mxydx(,)Nxydy(,)cx0y00[3]其中c是任意常数.2例1求(xy

8、dx)(x2)ydy0的通解.2解这里Mxy,Nx2y,在xy平面上有连续偏导数，这时MN1,1,yx因此方程为恰当微分方程.方法1（不定积分法）现在求u，使它同时满足如下两个方程第3页共19页