资源描述：
《用参数法解常微分方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、用参数法解常微分方程山东农业大学(自然科学版),20o9,40(4):628—631JoumalofShandongAcultumlUniversity(NatumlScience)用参数法解常微分方程王希超,徐胜荣,刘彤(1.山东农业大学信息科学与工程学院,山东泰安27lOl8;2.泰安市岱岳区教育局,山东泰安27l0o0)摘要:给出了微分方程的参数解法,并进行了举例应用.关键词:微分方程:参数解法中图分类号:o172文献标识码:A文章编号:100o一2324(2009)04一o628一o4SoLVINGDⅡFEIUNTLE
2、QUA兀oNSBYPARAMETERMTHoDWANGXi—chao,XUSheng—r0ng,LIUTong(college0fIrlf0matiunsienceaIldEngineering,shaIldongAcultumluniversity,Taian27l0l8,chinna)Abstract:Inthispaper,parametermethodf0rsolvingdifrerentialequati0nsisdiscussed,andsomeexamplesaregiVent0showitsapplicatio
3、n.KeywOrds:Diflferentialequation;pammetermethod1引言常微分方程是数学的一个重要分支,同时在生物,天文,力学,物理等科学领域中也有重要的应用.而人们能用初等方法求出解的微分方程不是太多,如一阶微分方程中的变量可分离的方程,线性方程,恰当方程,以及常系数二阶线性方程等.本文给出了微分方程的一种参数解法,能够解出一些基本解法所不能解出的微分方程.2一阶常微分方程的参数解法2.1形如,f,)=O一阶常微分方程F(,),)=0从几何上看,F(,y)=0表示(,y)平面上的曲线,可以把这曲线
4、表示为适当的参数形式』(￡)Iy=()这里￡是参数,当然有F((f),())=0成立=),这样,把(2)代人上式,得=(￡)()上式两端积分,得到y=(t)(￡)+c于是,得到方程(1)的参数形式通解(￡)ly=(z)(￡)+c例1求解方程+y"一3=0收稿日期:2009—3—10作者简介:王希超,(1964一)男,副教授,从事数学教学与研究工作.(1)(2)第4期王希超等:用参数法解常微分方程?629?解令,,=p=舰,则由方程得=南,从p=专,于是=,积分之,得到y=dt={+cr一眦鳓麟裁腻:{y:龅数【y衙如含有因式~
5、/1,,,等的微分方程,可以用三角代换的参数解法解方程.例2解方程y:!n于是所以::),=￡+C从而通解为f:+L),=lnsecf消去￡得到原方程的通解为),:1nsec(一c)例3解方程(y+1)=1解:令y=tan￡则y=±cos￡于是==干cos础得=干'sint+c从而通解为』=干im+cL=士cOsf消去￡得到原方程的通解为(—c)+y2=l3高阶常微分方程的参数解法3.1高阶齐次方程设F(,),,,,d),,d,…,d"),)=0为关于所有变量的m次齐次函数,则作变量代换=e,可得如=e'dM+(+),利用F的
6、齐次的性质,则可以化为不含自变量的n阶方程,即变成上述类型的方程.例4解方程y一y+3yy"一(3y+2)y+2y+y=0解:作变量代换=e,y=麟=利用齐次方程的性质将原式化为不含新变量的二阶方程此时有一曼:±:一et打du+"=c雾+塞=e+(+)(+)?630?山东农业大学(自然科学版)第40卷将它们代入原方程得e打e(+)一e3(考+u)+3e3fu(+u)一e3(3"2+2)(+")+2u+,:.上式化简得一一()=.令:p,得=p代入上述方程得p(一l—p.)=0L¨由-l—p:0得=p_tan("+c).再积分得
7、sin("+C)=故原方程的通解为y=sin(C:)一C.再由p=0,得:0,即有特解y:,它包含在通解中.所以原方程的全部解是y=sin(C:)一Cz3.2某些可以用三角代换的高阶常微分方程如含有因式+),的方程,可以应用三角代换,令:rcos,,,=rsin从而化简原方程,求得原方程的解.例5解方程(+y)":2(1+y)(夥一y)解:令=rcos,y=rsin贝,rsin+,℃osI9..2r"一,丁,+r2y'),一y=,l+"=代人原方程得到r"+r:0解为r=CJc0s一sin由c.s每,sin等,得到原方程的解为
8、+y+C+c2y=03.3某些含有多项式pf,y∥,…,'')的幂的高阶常微分方程对于这些含有多项式的幂的方程,,可以令u=p(,y,y,…,y'),从而化简原方程,求得原方程的解.例6解方程y"=(y一珂)解:令z=y一方程化为.=一.分离变量并积分得一:+c即一_:+c一
