中值定理证明

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1、.-中值定理首先我们来看看几大定理：1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

2、数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。2、零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、罗尔定理：如果函数f(x)满足：〔1〕、在闭区间[a,b]上连续；〔2〕、在开区间(a,b)可导;〔3〕、在区间端点处函数值相等，即

3、f(a)=f(b).那么在(a,b)至少有一点ξ(

4、积分中值定理：假设函数f(x)在[a,b]上连续，那么至少存在一点使得Ps：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立。但是在开区间上也是满足的，下面我们来证明下其在开区间也成立，即定理变为：假设函数f(x)在[a,b]上连续，那么至少存在一点使得.可修编..-证明：设，因为在闭区间上连续，那么在闭区间上连续且在开区间上可导〔导函数即为〕。那么对由拉格朗日中值定理有：使得而所以使得。在每次使用积分中值定理的时候，如果想在开区间使用，我们便构造该函数，运用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间成立即可。千万不可直接运用，因为课本给的定理是闭区间。定理运用：1、设在

5、[0,3]上连续，在(0,3)存在二阶导函数，且.证明：(1)使(2)使证明：先看第一小问题：如果用积分中指定理似乎一下子就出来了，但有个问题就是积分中值定理是针对闭区间的。有的人明知这样还硬是这样做，最后只能是0分。具体证明方法在上面已经说到，如果要在开区间用积分中指定理，必须来构造函数用拉格朗日中值定理证明其在开区间符合。〔1〕、令那么由题意可知可导.那么对由拉格朗日中值定理有：(2)、对于证明题而言，特别是真题第一问证明出来的结论，往往在第二问中都会有运用，在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西，我们要时刻注意下如何将第一问的东西在第二

6、问中进展运用：第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为0，这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题，如果有三个函数值相等，运用两次罗尔定理那不就解决问题啦，并且第一问证明出来了一个等式，如果有f(a)=f(b)=f(c)，那么问题就解决了。.可修编..-第一问中已经在(0,2)找到一点，那么能否在(2,3)也找一点满足结论一的形式呢，有了这样想法，就得往下寻找了，，看到这个很多人会觉得熟悉的，和介值定理很像，下面就来证明：上连续，那么在上也连续，由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值，分别设为M,m;那么从而，，那么由介值定理就有：那么有罗尔定理可知：，Ps：

7、此题记得好似是数三一道真题，考察的知识点蛮多，涉及到积分中值定理，介值定理，最值定理，罗而定理，思路清楚就会很容易做出来。2、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明:此题第一问较简单，用零点定理证明即可。〔1〕、首先构造函数：由零点定理知：.可修编..-(2)、初看本问貌似无从下手，但是我们始终要注意，对于真题这么严谨的题目，他的设问是一问紧接一问，第一问中的结论或多或少总会在第二问中起到作用。在想想高数定理中的就这么些定理，第一问用到的零点定理，从第二问的结论来看，也更本不涉及什么积分问题，证明此问题也只可能

8、从三大中值定理出发，具体是哪个定理，得看自己的情况，做题有时候就是慢慢试，一种方