函数的表示方法2—函数的值域

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1、课题:2.2函数的表示方法2—函数的值域教学目的:1.掌握求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);掌握二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法.2.培养观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力;教学重点:值域的求法教学难点:二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法授课类型:新授课课时安排:1课时教具:多媒体、实物投影仪教学过程:一、复习引入:函数的三要素是:定义域、值域和定义域到值域的对应法则;对应法则是函数的核心(它规定了x和y之间的某种关系),定义域是函数的重要组成部分(对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数);定义

2、域和对应法则一经确定,值域就随之确定。函数的表示方法⑴解析法优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法优点:不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.⑶图象法:优点:能直观形象地表示出自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.前面我们已经学习了函数定义域的求法和函数的表示法,今天我们来学习求函数值域的几种常见方法。二、讲解新课:1.直接法:利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R,值域为

3、R;反比例函数的定义域为{x

4、x0},值域为{y

5、y0};二次函数的定义域为R,当a>0时,值域为{};当a<0时,值域为{}.例1.求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②③④解:①∵-1x1,∴-33x3,∴-13x+25,即-1y5,∴值域是[-1,5]②∵∴即函数的值域是{y

6、y2}③∵∴即函数的值域是{y

7、yÎR且y¹1}(此法亦称分离常数法)④当x>0,∴=,当x<0时,=-∴值域是[2,+).(此法也称为配方法)函数的图像为:2.二次函数比区间上的值域(最值):例2求下列函数的最大值、最小值与值域:①;②;③;④;解:∵,∴顶点为(2,-3),顶点

8、横坐标为2.①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R,∴x=2时,ymin=-3,无最大值;函数的值域是{y

9、y-3}.②∵顶点横坐标2[3,4],当x=3时,y=-2;x=4时,y=1;∴在[3,4]上,=-2,=1;值域为[-2,1].③∵顶点横坐标2[0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2,∴在[0,1]上,=-2,=1;值域为[-2,1].④∵顶点横坐标2[0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3,x=5时,y=6,∴在[0,1]上,=-3,=6;值域为[-3,6].注:对于二次函数,⑴若定义域为R时,①当a>0时,则当时,其最小值;②当a<0

10、时,则当时,其最大值.⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若[a,b],则是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,再比较的大小决定函数的最大(小)值.②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内,只需比较的大小即可决定函数的最大(小)值.注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.3.判别式法(△法):判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例3.求函数的值域方法一:去分母得(y-

11、1)+(y+5)x-6y-6=0①当y¹1时∵xÎR∴△=(y+5)+4(y-1)×6(y+1)0由此得(5y+1)0检验时(代入①求根)∵2Ï定义域{x

12、x¹2且x¹3}∴再检验y=1代入①求得x=2∴y¹1综上所述,函数的值域为{y

13、y¹1且y¹}方法二:把已知函数化为函数(x¹2)由此可得y¹1∵x=2时即∴函数的值域为{y

14、y¹1且y¹}说明:此法是利用方程思想来处理函数问题,一般称判别式法.判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4.换元法例4.求函数的值域解:设则t0x=1-代入得∵t0∴y45.分段函数

15、例5.求函数y=

16、x+1

17、+

18、x-2

19、的值域.解法1:将函数化为分段函数形式:,画出它的图象(下图),由图象可知,函数的值域是{y

20、y3}.解法2:∵函数y=

21、x+1

22、+

23、x-2

24、表示数轴上的动点x到两定点-1,2的距离之和,∴易见y的最小值是3,∴函数的值域是[3,+].如图两法均采用“数形结合”,利用几何性质求解,称为几何法或图象法.说明:以上是求函数值域常用的一些方法(观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等),随着知识的不断学习和经验的不断积累,还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解,有的题用某种方法求解比较简捷,同学们要通过不断实践,

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