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1、高等代数竞赛练习题一.多项式.计算题：1.设求.答案：辗转相除法求2.设及的最大公因式是一个二次多项式,求.3.设与是有理系数多项式且,令,,求.4.设是首项系数为的次数的互异多项式,设,求的最大公因式.证明题：5.设一元多项式,其中,且与被除所得余式相等,6.设数域上的多项式,证明存在:使得,且当且仅当.7.设,且满足以下等式:,,证明:.8.证明:任给非负整数,都有.9.设,证明:若为奇数,且及中至少有一个为奇数,则无有理根.10.设是实系数多项式,满足,证明:.11.设是素数,是整数,,且
2、,证明没有有理根.12.证明:如果次多项式满足则有重根.13.设是复数域上的一个阶方阵,是复数域上的一个次数大于0的多项式,是矩阵的最小多项式.试证明:⑴．若,则秩秩.⑵．可逆当且仅当与互素.二.行列式.计算题:1.计算阶行列式.2.计算阶行列式,其中.3.计算阶行列式4.计算阶行列式5.设,称为循环行列式,求其行列式.6.若,求行列式.证明题:7..8.证明当时,9.设,为的代数余子式,证明.10.若阶方阵与只是第列不同,证明:.三.矩阵与线性方程组.计算题1.问取何值时方程组有解？有解时求解
3、.2.若,求.3.设,矩阵满足,求矩阵.4.设,若可由线性表出且表示法不唯一,求及的表示法.5.若阶方阵的各行元素之和均为零,且,求线性方程组的通解.6.设的伴随阵为,且.求7,(1)设阶方阵,且,证明:可逆.(2)设阶方阵,且,证明可逆.(3)设阶方阵满足,证明可逆,且.8.设为数域上的两个阶方阵,是一个正整数,若,可逆,且,证明:可逆,并求.证明题9.设是一实矩阵,证明:1)齐次线性方程组与同解.2),3)方程组有解.其中是一个维列向量.10.设是一阶方阵,为的伴随矩阵且,证明:有无穷多个解
4、当且仅当有非零解.11.设是数域上的一个矩阵,记,设是一个列向量,记为方程组的增广矩阵,令,已知方程组有解,证明:方程组的任一解的第一个分量为零当且仅当.12.设向量组线性无关,而向量组线性相关,且,证明:向量组中有且仅有一个向量可由其前面的向量线性表出.13.设矩阵,是非齐次线性方程组,有解,是导出组的一个基础解系,证明:(1)是的线性无关的解.(2)的任一解可表示为的一个线性组合.14.(1)设是阶方阵,满足,则存在可逆矩阵,使得.设是阶方阵,满足,则存在可逆矩阵,使得.设是阶方阵,满足,则
5、存在可逆矩阵,使得.15.设都是阶方阵,,,证明存在可逆阵,使得同时为对角阵.16.设是一个阶可逆矩阵,证明:存在对角元为的下三角阵和上三角阵,使得当且仅当的各阶顺序主子式均非零,且上述分解唯一.17.设是一个数域,,,且中任意个向量均线性无关,证明:1)若,则或者或者至少存在个系数全不为零.2)若,则中任一向量均可由其余向量线性表出.四.二次型部分.计算题:1.取何值时,二次型正定.2.化二次型为标准形3.用正交线性替换化二次型为标准形.4.设实对称阵,,(1)求的特征根及相应的线性无关的特征
6、向量.(2)求正交阵,使得是对角阵.5.设是阶可逆实矩阵,求的正负惯性指数.6.用正交线性替换化实二次型为标准形.证明题:7.假设是一个实二次型,若有维实向量使得,证明:存在维实向量,使得.8.下列关于阶实对称阵的命题等价.(1)是正定阵.(2)存在主对角线元素全等于的上三角矩阵,使得,其中是正定对角阵.(3)存在主对角线元素全为正的上三角阵,使得.9.设是实二次型,若的前个顺序主子式非零,求证:经过可逆线性变换可化为下标准形,其中.10.(1)设是阶半正定阵,求证:对于任意的自然数,必存在同阶
7、半正定阵,使.(2)设是阶正定阵,求证:对于任意的自然数,必存在同阶正定阵,使.11..(1)设是阶正定阵,是阶实对称阵,则存在可逆阵,使得,,其中是的特征值.(2)设是阶实对称阵,则存在正交阵,使得是对角阵.五.线性空间和线性变换部分计算题:1.设均为阶方阵,,设满足与的阶方阵组成的解空间分别为,求的维数.2.已知是的一组基,线性变换满足.(1)求基到基的过渡矩阵.(2)求在基下的矩阵.(3)求在下的像.3.设维线性空间,线性变换,线性无关,,,设矩阵与的列向量分别是向量与在的基下的坐标,求在
8、基下的矩阵.4.已知线性空间的线性变换为,其中,(1)选取的一组基,求在基下的矩阵.(2)求及的各一组基.5.设矩阵,已知有个线性无关的特征向量,是的二重特征值,求可逆矩阵,使得为对角阵.6.设矩阵是阶可对角化矩阵,特征值为,求矩阵的的特征值.7.设,是的一个线性变换,求的不变子空间.8.设是维线性空间的一个线性变换,取,设是含的最小不变子空间,求的维数与一组基.证明题:9.设是阶矩阵组成的线性空间,设证明当且仅当.10.设,,且,令分别为齐次线性方程组,与的解空间,证明.11.设是数域上的一个
