立体几何初步练习题及答案

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1、立体几何初步测试题1.如图，设A是棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论，其中错误的是(　　)A．有10个顶点B．体对角线AC1垂直于截面C．截面平行于平面CB1D1D．此多面体的表面积为a2解析　此多面体的表面积S＝6a2－3××a×a＋×a×a×＝a2＋a2＝a2.故选D2．(2012·福建宁德二模)如图是一个多面体的三视图，则其全面积为(　　)A.　　　　　　　B.＋6C.＋6D.＋4解析　由几何体的三视

2、图可得，此几何体是正三棱柱，其全面积为S＝3×()2＋2××()2×sin60°＝6＋.故选C.3．(2012·江西抚州一中模拟)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(　　)A．22πB．12C．4π＋24D．4π＋32解析　由几何体的三视图可得，此几何体是上面一个球、下面一个长方体组成的几何体，此几何体的表面积S＝4π×12＋2×2×2＋8×3＝4π＋32.故选D.5．(2012·江苏启东中学模拟)一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为π，则球的体积为(　　)

3、A.B.C.D．8π解析　由题意，球的半径为R＝＝，故其体积V＝π()3＝，选A.6．(2012·福建福鼎一中模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是(　　)A.B.C.D.解析　因为BC∥B1C1，故∠EC1B1即为异面直线C1E与BC所成的角，在△EB1C1中，由余弦定理可得结果，选C.8.(2012·安徽皖南八校联考)设m，n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①⇒β∥γ；②⇒m⊥β；③⇒α⊥β；④⇒m∥α

4、.其中正确的命题是(　　)A．①④B．②③C．①③D．②④解析　由定理可知①③正确，②中m与β的位置关系不确定，④中可能m⊂α.故选C.10.(2012·南昌一模)在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为(　　)A.aB.aC.aD.a解析　设点C到平面A1DM的距离为h，则由已知得DM＝A1M＝＝a，A1D＝a，S△A1DM＝×a×＝a2，连接CM，S△CDM＝a2，由VC－A1DM＝VA1－CDM，得S△A1DM·h＝S△CDM·a，a2·

5、h＝a2·a，所以h＝a，即点C到平面A1DM的距离为a，选A11．(2012·山东平邑一中模拟)设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是(　　)A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c解析　写出逆命题，可知B中b与β不一定垂直．选B二、填空题13.(2012·广东珠海二模)一个五面体的三视图如图，正视图与侧视图都是等腰直角三角形

6、，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为________解析　由三视图可知，此几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其体积为V＝××(1＋2)×2×2＝2.15．(2012·江西赣州联考)三棱锥S－ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是a.其中正确结论的序号是________．解析　由题意知AC

7、⊥平面SBC，故AC⊥SB，SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，①、②、③正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离a，④正确．答案　①②③④16．(2012·南京一模)如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．解析　设正三棱柱的底面边长为a，高为2h，则BD＝C1D＝，BC1＝，由△BC1D是面积为6的直角三角形，得，解得，故此三棱柱的体积为V＝

8、×8×sin60°×4＝8三、解答题17．(本小题满分12分)(2012·北京)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．解　(1)因为AC⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥AC.所以ED⊥A1D，D