立体几何初步练习题及答案.doc

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1、1.(2012·安徽皖南八校联考)设m，n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①⇒β∥γ；②⇒m⊥β；③⇒α⊥β；④⇒m∥α.其中正确的命题是(　　)A．①④B．②③C．①③D．②④2．(2012·江西赣州联考)三棱锥S－ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是a.其中正确结论的序号是________．3．(2012·南京

2、一模)如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．三、解答题4．(本小题满分12分)(2012·北京)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1D

3、P与平面A1BE垂直？说明理由．5．(本小题满分12分)(2012·辽宁)如图，直三棱柱ABC—A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)若二面角A′—MN—C为直二面角，求λ的值．解　(1)因为AC⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥AC.所以ED⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.所以DE⊥A1C.又因为A1C⊥CD.所以A1C⊥平面BCDE.(2)如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C—xyz，则A

4、1(0,0，2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)．设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0.又＝(3,0，－2)，＝(－1,2,0)，所以令y＝1，则x＝2，z＝.所以n＝(2,1，)．设CM与平面A1BE所成的角为θ.因为＝(0,1，)，所以sinθ＝

5、cos〈n，〉

6、＝＝＝.所以CM与平面A1BE所成角的大小为.(3)线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直，理由如下：假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p∈[

7、0,3]．设平面A1DP的法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝0，m·＝0.又＝(0,2，－2)，＝(p，－2,0)，所以令x＝2，则y＝p，z＝.所以m＝.平面A1DP⊥平面A1BE，当且仅当m·n＝0时成立，即4＋p＋p＝0.解得p＝－2，与p∈[0,3]矛盾．所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．