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1、1由于故2定理3.2设是具有参数的泊松分布，是对应的时间间隔序列，则随机变量是独立同分布的均值为的指数分布Proof:注意到发生当且仅当泊松过程在区间内没有事件发生，因而即所以是服从均值为的指数分布.利用泊松过程的独立、平稳增量性质，有即对任意的和有即所以对任一其分布是均值为的指数分布.所以概率密度为3设在内事件已经发生次,,对于,求解:利用条件概率及泊松分布得这是一个参数为和的二项分布4对有有即分布函数为分布密度为5设,是复合泊松过程则（1）是独立增量过程；（2）是特征函数,其中是随机变量的特征函数;是事件的到达率
2、;3)若,则,Proof:1)令,则,故…2)因为3)由条件期望的性质及假设知所以类似地,6设脉冲到达计数器的规律是到达率为的泊松过程,记录每个脉冲的概率为,记录不同脉冲的概率是相互独立的.l令表示已被记录的脉冲数.(1)求(2)是否为泊松过程.解：设表示在区间脉冲到达计数器的个数,令则根据复合泊松过程的定义知为泊松过程，且故强度为,,7设为马尔科夫链,则对任意整数和,步转移概率具有下列性质：(1);(2)(3)(4)Proof:1）利用全概率公式及马尔科夫性，有2)在(1)中令，得这是一个递推公式，故可推得到3）在
3、(1)中令,利用矩阵乘法可证4）由(3),利用归纳法可证8判别马氏性、齐次性1）马氏性定义:2)9设为马尔科夫链，试证(1)(2)proof:(1)(2)利用条件概率类似可得10设马氏链的状态空间为转移概率为考察状态0可知有故可见0为正常返，由于，所以它是非周期的，因而是遍历的，对于其它状态由定理4.9，因故也是遍历的11设转移矩阵为试分解此链并指出各状态的常返性及周期性.解：有题可知所以可见1为正常返状态且周期等于3.含1的基本常返闭集为从而状态3及5也为正常返且周期为3.同理可知6为正常返状态.,其周期为1,含6
4、的基本常返闭集为可见2是遍历的.由于故4非常返，周期为1，于是可分解为12设不可分马氏链的状态空间为,转移矩阵为可知各状态的周期.固定状态令故13设马尔科夫链具有状态空间,转移概率,其中.称这种马尔科夫链为生灭链,是不可约的，记试证此马氏链存在平稳分布的充要条件为Proof:由题可知于是有递推关系解得所以对求和得由此可知平稳分存在的充要条件是此时14设马氏链的转移概率矩阵为(1)(2)计算解：(1)(2)15设马氏链的转移矩阵为求它的平稳分布.解：16证明泊松过程为连续时间齐次马氏链Proof:先证泊松过程具有马氏性
5、,再证齐次性,由泊松过程的定义知识独立增量过程,且对任意有又因为所以即泊松过程是一个连续时间马氏链；再证齐次性,当时,由泊松过程定义,得当时,由于过程的增量只取非负整数,故,所以即转移概率只与有关,泊松过程具有齐次性17求过程的及解：过程(1)(2)由性质知关于一致连续（存在）(3)存在由得,18M/M/s排队系统.假设顾客按照参数为的泊松过程来到一个有个服务员的服务站,即相继到达顾客的时间间隔是均值为的独立指数随机变量,每一个顾客一来到,如果有服务员空闲,则直接进行服务,否则此顾客加入排队行列.当一个服务员结束对一
6、位顾客的服务时,顾客就离开服务系统,排队中的下一个顾客进入服务.假定相继的服务时间是独立的指数随机变量,均值为.如果我们以记时刻系统中的人数,则是生灭过程，M/M/s排队系统中M表示马氏过程,s代表有s个服务员.特别,在M/M/s排队系统中,,于是若,则要平稳分布存在,必须小于.的情况类似随机游动,它是常零返的,从而没有极限概率19某修理店只有一个服务员,顾客按强度为4人每小时过程到达,服务员对每位顾客服务的时间是常数10的指数分布,问(1)修理店空闲的概率;(2)等候服务的顾客平均数解：(1)；(2)20讨论随机过
7、程的各态历经性,其中是方差不为零的随即变量.解：易知是平稳过程,事实上，但此过程不具有各态历经性，因为,是非常数，不等于.所以的均值不具有各态历经性.类似可证其相关函数也不具有各态历经性.21设随机过程，其中是均值为零、方差为相互独立的正态随机变量.试问：(1)的均值是否各态历经的？(2)的均方值是否各态历经的？(3)若,是上服从均匀分布的随机变量,此时是否各态历经的？解：(1)由于,故即均方收敛于0,故的均值是各态历经的(2)类似(1)可证得，故又,故,,因此的均方值非各态历经.(1)将代于(2)中得故是各态历经的
8、22赌徒输光问题两赌徒甲、乙进行一系列赌博.赌徒甲有a元,赌徒乙有b元,每赌一局输者赢着一元钱,没有和局,直到两个人中有一个输光为止.设在每一局中,甲赢的概率为p,输的概率为q=1-p，求甲输光的概率.解：设表示甲从状态出发转移到0的概率,由于0和c是吸收状态,故由全概率公式,由于即有差分方程其中,其边界条件为Case1当时，有解得令求得甲输光
