小波及其在语音信号处理中的应用

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1、小波及其在语音信号处理中的应用谭鹏（北京邮电大学信息工程学院博士B006班B）摘要：本文是作者在学习《现代信号处理》小波部分时的一些体会和心得的总结，全文分为两部分。第一部分讨论了小波的基本概念，小波的分类，多分辨率分析及Mallat算法和多孔算法。第二部分则介绍了小波在语音信号处理中的几种应用，包括语音编码，语音降噪，基音检测和语音信号特征提取。一．小波1.小波的基本概念小波变换是80年代后期发展起来的应用数学分支。其含义是：把某一成为基本小波（也叫母小波motherwavelet）的函数作位移后

2、，再在不同尺度下与待分析信号x(t)作内积：,a>0小波变换可以分为连续小波变换（连续时间，连续小波变换），连续时间离散分析，离散时间离散分析。理解小波的关键是理解小波母函数，小波母函数是指满足下面两个条件的函数(1)完全重构条件(2)恒等分辨条件为的傅立叶变换。而把小波母函数的扩张和伸缩称为小波基函数把看作用t*和t给出中心和半径的窗函数，把看作由和给出中心和半径的窗，则小波母函数的时间分辨率为t，频率分辨率为。可计算出小波基函数的时间分辨率为2at，频率分辨率为，时间窗为，频率窗为。因此可以调节

3、尺度参数a来调节小波基函数的时频域窗口位置和时频域分辨率。因为小波母函数可以看作是某一带通滤波器的冲激响应，所以小波基函数可以看作是一带通滤波器组。下面我们导出这组带通滤波器组的一个重要性质，即恒Q性质。设小波母函数所代表的带通滤波器的中心频率为，则小波基函数所表示的一组带通滤波器中心频率为,它们的相对带宽（即Q值）为。因为，是固定的，所以该带通滤波器组为等Q滤波器组。总结上面的性质可以看出：小波变换在高频处具有较高的时间分辨率和较低的时间分辨率。在低频处具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率。非常

4、适合处理具有恒Q特性的图像和话音信号。这类信号的慢变部分反映信号的低频分量，在时域允许较低的分辨率，而低频部分集中了信号的主要能量，应予以较大关注，需要较高的频率分辨率。话音信号时域的快变部分反映信号的高频分量，因此应使用较高的时间分辨率来观察，高频部分频带较宽，允许较低的频率分辨率。1.小波的分类根据小波函数的类型,小波可分为下面三类:(1)正交小波是指满足正交性条件：的小波。正交小波的基函数具有线性独立性。从信号重构的精度考虑，正交基信号是重构最理想的基函数，所以一般希望小波是正交小波。但除了H

5、arr函数外，实值的紧支集正交小波既不可能是对称的，也不可能是反对称的。由于在信号处理中小波的作用是带通滤波器，所以对称和反对称分别等价为线性相位和广义线性相位。而如果一个带通滤波器不是线性相位或广义线性相位时，它将使通过的信号产生畸变，为了避免畸变，我们就必须使用其它小波。也就是说，我们必须舍弃小波的某种结构以保持小波的最小支撑。为了使构造的小波和对偶小波都是紧支撑的，并且是对称或反对称的，就必须放弃小波的正交性。因此还有下面两类半正交和双正交小波。（2）半正交小波一个在内的Riesz小波若满足“

6、跨尺度正交性”称为半正交小波。由于半正交小波可以通过标准正交化运算转变为正交小波，所以一般不把半正交小波作为讨论的对象。（3）双正交小波如果和它的对偶之间满足关系，则称为双正交小波。显然，一个正交小波一定是双正交小波，但双正交小波一般不是正交小波。因此，正交小波是双正交小波的特例。3．多分辨率分析把平方可积的函数看成是某一逐级逼近的极限情况。每级逼近都是用某一低通平滑函数对作平滑的结果，只是逐级逼近时平滑函数也作逐级伸缩，即用不同的分辨率来逐级逼近待分析函数。这就是“多分辨率分析”的基本思想。一维小

7、波变换取决于尺度函数和小波函数。设尺度函数生成尺度子空间，小波函数生成小波子空间。较低的分辨率与较粗的信号内容对应，从而对应更大的子空间；较高的分辨率与教细的信号内容对应，从而对应更小的子空间。因为的分辨率比高，所以尺度子空间有包容关系同时在正交小波基的构造中至少应保证,即,两者是的互补子空间。反复使用上式，分辨率为的多分辨率分析子空间可以用有限多个子空间逼近，即有：令代表分辨率为的函数的逼近，而代表逼近的误差（细节），则上式意味着这表明，任何函数都可以根据分辨率为时的粗糙像和分辨率为下的细节“完全

8、重构”，这也是著名的Mallat塔式重构算法的思想。由，可用子空间的基函数展开，令展开系数为,可得，该式称为尺度函数的双尺度方程。另一方面，由，知，故同理可得小波函数的双尺度方程：设,分别为和的傅立叶变换，由尺度函数和小波函数的正交条件，可以推导出和之间的关系，从而得出和之间的关系。由尺度函数正交，有由小波函数正交，有由尺度函数和小波函数之间的正交，可得综合上面三式，可以解得，4.Mallat算法和多孔算法(algorithma’trous)由双尺度方程可得出各级系数