2014年上半年线性代数第一次作业

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1、1.   证明方阵A与有相同特征多项式（从而有相同特征值）。（5分）证明：因为A与对应的特征多项式分别为,显然，从而原题得证。2.设方程A有特征值2和-1，和，分别是对应的特征向量。试将向量表示成与的线性组合，并求。（5分）解：设,解方程组易得s=-1,t=-2,从而3.设方阵A满足证明A的特征值是0或1。（5分）证明：证明：因为，所以,显然A的特征值是0或1。4.求下列方阵的特征值及对应的线性无关特征向量：（10分）（1）(2)解：（1）（2）5.设是方阵A的两个不同的特征值，分别是对应于的特征向量。证明：不是A的特征向量。（5

2、分）证明：假设是A的特征向量，相应的特征值为，则,而,，根据特征向量的线性无关性可以推出，矛盾6.设可逆方阵A与B相似，证明：。（5分）证明：由题意，存在可逆矩阵P，使得,则,从而原题得证。7.第4题中哪些矩阵可对角化？哪些矩阵不能对角化？并对可对角化的矩阵A,求一个可逆矩阵P,使成为对角矩阵。（5分）答：提示：由于第4题中的矩阵都是3阶方阵，所以它们可以对角化的充要条件是存在3个线性无关的特征向量，仿教材P222－226例1，2，3得之。8.设方阵A满足其中求A及.（5分）答：由题意，A的三个特征值为1，0，-1，再对施行正交化

3、和单位化，得到对应的特征向量，所以,因为，所以根据的单位正交性知。9.设A为3阶方阵，已知方阵E-A,E+A,3E-A都不可逆。问A是否相似于对角矩阵？为什么？（10分）答：由题意，A的特征值为1，-1，3，所以可以相似于对角矩阵。10.已知求内积（5分）解：11.求一个与都正交的单位向量。（5分）解：设要求的向量为,则可得,再将该向量单位化，即得12.设A为正交矩阵，证明：A的伴随矩阵也是正交矩阵。（5分）证明：根据所以也是正交的。13.设方阵,其中E为n阶单位矩阵，为n维单位向量。证明：A为对称的正交矩阵。（10分）证明：对称

4、性易证；正交性可以根据证得。14.求正交矩阵P,使成为对角矩阵，其中A为：。（10分）解：15.求二次型的标准形，并写出所作的非退化线性代换.（10分）解：+-4令;;,则.所以，相应的非退化线性变换矩阵为