2008考研网校线代强化讲义1-2章

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1、第一章行列式线性代数的特点是这些内容联系非常紧密。不但后面的知识用到前面的知识，而且有时前面的知识也用到后面的一些结论。因此，把它们串在一起学习，同学们会发现线性代数是1条主线，2种运算，3个工具。即：一条主线是方程组；二种运算是求行列式和求矩阵的初等行（列）变换；三个工具是行列式，矩阵，向量（组）。　　行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。另外，用简单的递推公式求行列式的方法也

2、应掌握。　　【大纲内容】行列式的概念和基本性质；行列式按行（列）展开定理。　　【大纲要求】了解行列式的概念，掌握行列式的性质。会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。　　【考点分析】考研试题中关于行列式的题型主要是填空题,纯粹考行列式的题目很少，但行列式是线性代数中必不可少的工具，它在处理以下问题中都有重要应用：　　1.判定方阵是否可逆以及应用公式求逆矩阵；　　2.判定n个n维向量的线性相关性；　　3.计算矩阵的秩；　　4.讨论系数矩阵为方阵的线性方程组的解的情况并利用克莱姆法则求方程组的解；　　

3、5.求方阵的特征值；　　6.判定二次型及实对称矩阵的正定性。　　同时，上述内容也可与行列式知识相结合构造新的关于行列式的题型。在复习过程中，请大家注意及时归纳总结。　　相应知识点精讲　　一、行列式的定义　　1.行列式的形式：个数排列成n行、n列，组装成一个正方形，两边画两根竖线，即形如：，称为一个n阶行列式。其中数称为行列式的元素，横排的一行元素称为行列式的第i行，自上而下计序，共有n行。竖排的一列元素称为行列式的第j列，自左向右计序，共有n列。自左上角到右下角倾斜的一列元素称为行列式的主对角线，自右上角到左下角

4、倾斜的一列元素称为行列式的次对角线或副对角线。　　2.行列式的值：行列式的数学属性是一个数，称为该行列式的值。当一个行列式的元素给定后，该行列式的值可通过特定的运算，从其元素计算得到。例如：　　（1）一阶行列式的值规定即为其元素本身，即。　　（2）二阶行列式，即二阶行列式的值等于其主对角线元素的乘积减去次对角线元素的乘积。我们常常称之为二阶行列式的对角线法则。　　【例1】计算下列行列式的值：。　　[答疑编号：21201101针对该题提问]　　【解】。　　3.行列式的定义：　　　　即：个数构成的n阶行列式等于所有取

5、自不同行与不同列元素乘积的代数和。一共有项，一半带负号，一半带正号。其中为任意一个n级排列，为n级排列的逆序数。我们知道n级排列一共有种。　　4.五个特殊行列式的值　　下面介绍五个特殊行列式的值。　　（1）如果一个行列式中有一行或一列的元素全为0，则此行列式的值为0。　　（2）如果一个行列式中有两行（两列）所有对应元素都成比例，则该行列式等于0.特别地，如果一个行列式中有两行（两列）相同，则该行列式等于0。　　（3）形如的行列式称为上三角形行列式，其特点是主对角线下面的元素全为0。上三角形行列式的值等于其主对角线

6、上所有元素的乘积，即：　　　　（4）形如的行列式称为下三角形行列式，其特点是主对角线上面的元素全为0。下三角形行列式的值也等于其主对角线上所有元素的乘积，即：　　（5）形如的行列式称为对角形行列式，其特点是主对角线上面和下面的元素全为0。对角形行列式的值也等于其主对角线上所有元素的乘积，即：　　【例2】计算下列行列式的值：　　（1）　　[答疑编号：21201102针对该题提问]　　（2）　　[答疑编号：21201103针对该题提问]　　（3）　　[答疑编号：21201104针对该题提问]　　解：（1）=0　　（2

7、）=40　　（3）=0　　二、行列式的性质　　性质1.转置性质：行列式的行和列互换，其值不变。　　这个性质说明行列式中行和列的地位是相当的，对称的。通常，人们把一个行列式的第i行元素依次写成第j列（）的元素，所得的新的行列式称为原行列式的转置行列式。如果原行列式记作D，则其转置行列式记作。由性质1知，。　　例如：设行列式，则其转置行列式，显然。　　性质2.互换性质：行列式的两行（两列）互换，其值变号.也就是说，交换行列式两行（两列）的所有对应位置上的元素，所得的新的行列式的值等于原行列式的值的相反数。　　例如：已

8、知，，显然，　　性质3.数乘性质：若行列式的某行（某列）有公因子k，则可把公因子k提到行列式外面。即：若把上述等式反过来看，即：，也可认为：数k与一个行列式的乘积等于在该行列式的某一行或某一列中各元素乘以k。　　性质4.倍加性质：把行列式某行（某列）的所有元素的k倍，加到另一行（另一列）的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值。　　【例3】计算下列行列式的值：