考研铁军老师线代和概率暑假强化班讲义

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1、2012年万学海文线性代数暑期强化精品班考研辅导讲义主讲铁军教授线性代数线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，主要用证明题的方法技巧来解决计算题.因此，必须掌握证明题的证明技巧，并会在计算题中灵活应用.难点在于线性代数的内容比较抽象，综合性强，特别是关于向量的线性相关性、矩阵的秩与线性方程组的解的结构定理的综合题难度较大，必须突破这一难点.概括地讲，线性代数有1条主线，2种运算，3个工具.即：一条主线是方程组；二种运算是求行列式和求矩阵的初等行（列）变换；三个工具是行列式，矩阵，向量

2、（组）.第一章行列式行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握.考研试题中关于行列式的题型主要是填空题,纯粹考行列式的题目很少，但行列式是线性代数中必不可少的工具，应用广泛.1一、考研知识结构网络图不同行与不同列元素乘积的代数和（共有n!项）概念转置性质：行列式的行和列互换，其值不变.互换性质：行列式的两行（两列）互换，其值变号数乘性质：若行列式的某行（某列）有公因子k，则可把

3、性质公因子k提到行列式外面倍加性质：某行（某列）的k倍加到另一行（另一列）的相应元素上去，行列式的值不变加法性质：某行（列）的所有元素均为两项之和，则行列式可拆为两个行列式之和行列式A=++aAaA"+aA(按i行展开)ii11ii22inin展开式A=++aAaA"+aA(按j列展开)11jjj22jnjnj错位展开式aAaA++"+=aA0(ij≠)ij11ij22injn数字型公式法，三角化法，递推法计算利用行列式性质；利用方阵行列式性质；抽象型利用特征值A=λλλ"λ123nAx=0有非零解；秩A

4、阵的秩；可逆的证明；伴随矩阵求逆法；矩阵特征值问题；判定二次型及实对称矩阵的正定性应用向量问题线性相关（无关）的判定；向量组的秩和最大无关组方程组问题非齐次线性方程组克莱姆（Gramer）法则齐次线性方程组Ax=0有非零解的必要条件2真理往往朴素，以致人们不相信它.——列·瓦尔特二、相应知识点精讲行列式的定义定义1.1n阶行列式aa"a11121naa"an!D==21222n∑(1)−τ(,ppp12"n)aa"a""""12p12pnpnppp12,"naa"ann12nn2即：n个数构成的n阶行列式等于所有取自不同行与不同列元素乘积的代数和.一

5、共有n!项，一半带负号，一半带正号.其中p,p,"p为任意一个n级排列，12nτ(p,p,"p)为n级排列p,p,"p的逆序数.我们知道n级排列一共有n!种.12n12n行列式的性质性质1.1.转置性质：行列式的行和列互换，其值不变.这个性质说明行列式中行和列的地位是相当的，对称的.通常，人们把一个行列式的第i行元素依次写成第j列（in=1,2,3,",）的元素，所得的新的行列式称为原行列式TT的转置行列式.如果原行列式记作D，则其转置行列式记作D.由性质1知，D=D.性质1.2.互换性质：行列式的两行（两列）互换，其值变号.也就是说，交换行列式两行

6、（两列）的所有对应位置上的元素，所得的新的行列式的值等于原行列式的值的相反数.性质1.3.数乘性质：若行列式的某行（某列）有公因子k，则可把公因子k提到行列式外aa""aaaa11121nn11121""""""""面.即：kaka""ka=kaaa.i12iini12iin""""""""aa""aaaan12nnnn12nnnaa""aaaa11121nn11121""""""""若把上述等式反过来看，即：kaa""a=kakaka，i12iini12iin""""""""aa""aaaan12nnnn12nnn也可认为：数k与一个行列式的乘积等

7、于在该行列式的某一行或某一列中各元素乘以k.3性质1.4.倍加性质（消法性质）：把行列式某行（某列）的所有元素的k倍，加到另一行（另一列）的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值.性质1.5.加法性质：如果行列式有某行（列）的所有元素均可写成两个加数的和，即该行（列）有两个分行（分列），则这个行列式等于两个行列式的和，而这两个行列式分别以这两个分行（分列）为该行（列），其他行（列）与原行列式相同.行列式按行、按列展开法则定理1.1n阶行列式aa"a11121naa"a21222nD=""""aa"ann12nn等于它的任一行（列）的各元素

8、与其对应的代数余子式乘积之和，即D=aAaA++"+aA(1in=,2)",（1.1）i11ii22iini