2016-2017学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷

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最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学2016-2017学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷　一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={1，2}，则（∁UA）∩B等于（　　）A．{1，2}B．[1，3}C．{1，2，5}D．{1，2，3}2．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，+∞）上单调递减的是（　　）A．y=x﹣1B．y=（）xC．y=x3D．3．（5分）用系统抽样方法从编号为1，2，3，…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽中，则第5段中被抽中的学生编号为（　　）A．48B．62C．76D．904．（5分）如图所示为某城市去年风向频率图，图中A点表示该城市去年有的天数吹北风，点表示该城B市去年有10%的天数吹东南风，下面叙述不正确的是（　　）A．去年吹西北风和吹东风的频率接近B．去年几乎不吹西风C．去年吹东风的天数超过100天D．去年吹西南风的频率为15%左右5．（5分）已知函数f（x）=|lnx﹣|，若a≠b，f（a）=f（b），则ab等于（　　）A．1B．e﹣1C．eD．e2第22页（共22页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学6．（5分）保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的频率是（　　）A．B．C．D．7．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为98，63，则输出的a为（　　）A．0B．7C．14D．288．（5分）已知函数y=ax（a＞0且a≠1）是减函数，则下列函数图象正确的是（　　）A．B．C．D．9．（5分）已知f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）+f（﹣5）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3）+f（5）+f（7）+f（9）=（　　）A．0B．4C．8D．1610．（5分）矩形ABCD中，AB=2，AD=1，在矩形ABCD的边CD上随机取一点E，记“△AEB的最大边是AB”为事件M，则P（M）等于（　　）A．2﹣B．﹣1C．D．第22页（共22页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学11．（5分）元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》一书，是中国古代数学的重要著作之一，共分卷首、上卷、中卷、下卷四卷，下卷中《果垛叠藏》第一问是：“今有三角垛果子一所，值钱一贯三百二十文，只云从上一个值钱二文，次下层层每个累贯一文，问底子每面几何？”据此，绘制如图所示程序框图，求得底面每边的果子数n为（　　）A．7B．8C．9D．1012．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，若方程f（x）=有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（　　）A．（﹣，1）B．（，1）C．（，1）D．（﹣1，）　二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某学习小组6名同学的英语口试成绩如茎叶图所示，则这些成绩的中位数为　　．14．（5分）空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数．AQI数值越小，说明空气质量越好．某地区1月份平均AQI（y）与年份（x）具有线性相关关系．下列最近3年的数据：年份2014201520161月份平均AQI（y）766848根据数据求得y关于x的线性回归方程为=﹣14x+第22页（共22页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学a，则可预测2017年1月份该地区的平均AQI为　　．15．（5分）已知f（x）=x3+（a﹣1）x2是奇函数，则不等式f（ax）＞f（a﹣x）的解集是　　．16．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是　　．　三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知集合A={x|x＜﹣2或x＞0}，B={x|（）x≥3}（Ⅰ）求A∪B（Ⅱ）若集合C={x|a＜x≤a+1}，且A∩C=C，求a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=，（x＞0且a≠1）的图象经过点（﹣2，3）．（Ⅰ）求a的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）若f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，求m的取值范围．19．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种方案可供选择．方案一：从装有4个红球和2个白球的不透明箱中，随机摸出2个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖；第22页（共22页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学方案二：掷2颗骰子，如果出现的点数至少有一个为4则中奖，否则不中奖．（注：骰子（或球）的大小、形状、质地均相同）（Ⅰ）有顾客认为，在方案一种，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于．你认为正确吗？请说明理由；（Ⅱ）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案？请说明理由．20．（12分）下面给出了2010年亚洲一些国家的国民平均寿命（单位：岁）国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命阿曼76.1巴林76.1朝鲜68.9韩国80.6老挝64.3蒙古67.6缅甸64.9日本82.8泰国73.7约旦73.4越南75.0中国74.8伊朗74.0印度66.5文莱77.6也门62.8阿富汗59.0阿联酋76.7东帝汶67.3柬埔寨66.4卡塔尔77.8科威特74.1菲律宾67.8黎巴嫩78.5尼泊尔68.0土耳其74.1伊拉克68.5以色列81.6新加坡81.5叙利亚72.3巴基斯坦65.2马来西亚74.2孟加拉国70.1塞浦路斯79.4沙特阿拉伯73.7哈萨克斯坦68.3印度尼西亚68.2土库曼斯坦65.0吉尔吉斯斯坦69.3乌兹别克斯坦67.9（Ⅰ）请补齐频率分布表，并求出相应频率分布直方图中的a，b；分组频数频率[59.0，63.0）20.05[63.0，67.0）　　　　[67.0，71.0）　　　　[71.0，75.0）90.225[75.0，7.0）70.175[79.0，83.0]50.125合计401.00（Ⅱ）请根据统计思想，利用（Ⅰ）中的频率分布直方图估计亚洲人民的平均寿命．第22页（共22页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学21．（12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2，三月底测得覆盖面积为36m2，凤眼莲覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y=kax（k＞0，a＞1）与y=px+q（p＞0）可供选择．（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（Ⅱ）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）22．（12分）已知函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，函数g（x）是h（x）=ex的反函数．（1）求函数g（f（x））的单调区间；（2）求证：函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1（参考数据：e=2.71828…，ln2≈0.693）．　第22页（共22页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学2016-2017学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={1，2}，则（∁UA）∩B等于（　　）A．{1，2}B．[1，3}C．{1，2，5}D．{1，2，3}【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={1，2}，则∁UA={1，2，5}，∴（∁UA）∩B={1，2}．故选：A．　2．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，+∞）上单调递减的是（　　）A．y=x﹣1B．y=（）xC．y=x3D．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、y=x﹣1=，是奇函数，且其在（0，+∞）上单调递减，符合题意；对于B、y=（）x是指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C、y=x3是幂函数，是奇函数但其在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；对于D、y=是对数函数，不是奇函数，不符合题意；故选：A．　3．（5分）用系统抽样方法从编号为1，2，3，…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽中，则第5段中被抽中的学生编号为（　　）A．48B．62C．76D．90第22页（共22页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学【解答】解：因为是从700名学生中抽出50名学生，组距是14，∵第2段中编号为20的学生被抽中，∴第5组抽取的为20+3×14=62号，故选B．　4．（5分）如图所示为某城市去年风向频率图，图中A点表示该城市去年有的天数吹北风，点表示该城B市去年有10%的天数吹东南风，下面叙述不正确的是（　　）A．去年吹西北风和吹东风的频率接近B．去年几乎不吹西风C．去年吹东风的天数超过100天D．去年吹西南风的频率为15%左右【解答】解：根据风向频率图，可知去年吹西南风的频率为5%左右，故选D．　5．（5分）已知函数f（x）=|lnx﹣|，若a≠b，f（a）=f（b），则ab等于（　　）A．1B．e﹣1C．eD．e2【解答】解：∵函数f（x）=|lnx﹣|，a≠b，f（a）=f（b），∴|lna﹣|=|lnb﹣|，∴lna﹣=lnb﹣或lna﹣=，第22页（共22页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学即lna=lnb或ln（ab）=1，解得a=b（舍）或ab=e．∴ab=e．故选：C．　6．（5分）保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的频率是（　　）A．B．C．D．【解答】解：满足条件的数分别是1，3，5，7，9，共1，3，5，7；1，3，5，9；1，3，7，9；1，5，7，9；3，5，7，9共5种密码，最多输入2次就能开锁的频率是p=，故选：C．　7．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为98，63，则输出的a为（　　）A．0B．7C．14D．28【解答】解：由程序框图可知：a=98＞63=b，∴a←35=98﹣63，b←28=63﹣35，∴a←7=35﹣28，b←21←28﹣7，a←14=21﹣7，b←7=21﹣14，第22页（共22页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学a←7=14﹣7，则a=b=7，因此输出的a为7．故选：B．　8．（5分）已知函数y=ax（a＞0且a≠1）是减函数，则下列函数图象正确的是（　　）A．B．C．D．【解答】解：函数y=ax（a＞0且a≠1）是减函数，是指数函数，a∈（0，1），函数y=xa的图象为：所以A不正确；y=x﹣a，第一象限的图象为：第三象限也可能有图象．所以B不正确；y=logax，是减函数，所以选项C不正确；y=loga（﹣x），定义域是x＜0，是增函数，所以D正确．第22页（共22页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学故选：D．　9．（5分）已知f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）+f（﹣5）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3）+f（5）+f（7）+f（9）=（　　）A．0B．4C．8D．16【解答】解：∵f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）=ln9﹣ln7+1，f（﹣5）=ln7﹣ln5+1，f（﹣3）=ln5﹣ln3+1，f（﹣1）=ln3+1，f（3）=﹣ln3+1，f（5）=ln3﹣ln5+1，f（7）=ln5﹣ln7+1，f（9）=ln7﹣ln9+1，则f（﹣7）+f（﹣5）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3）+f（5）+f（7）+f（9）=8，故选：C．　10．（5分）矩形ABCD中，AB=2，AD=1，在矩形ABCD的边CD上随机取一点E，记“△AEB的最大边是AB”为事件M，则P（M）等于（　　）A．2﹣B．﹣1C．D．【解答】解：分别以A、B为圆心，AB为半径作弧，交C、D于P1，P2，当E在线段P1P2间运动时，能使得△ABE的最大边为AB，∵在矩形中ABCD中，AB=2，AD=1，∴AP1=BP2=2，∴CP1=DP2=2﹣，∴P1P2=2﹣2（2﹣）=2﹣2，第22页（共22页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学∴△ABE的最大边是AB的概率：p==﹣1故选：B．　11．（5分）元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》一书，是中国古代数学的重要著作之一，共分卷首、上卷、中卷、下卷四卷，下卷中《果垛叠藏》第一问是：“今有三角垛果子一所，值钱一贯三百二十文，只云从上一个值钱二文，次下层层每个累贯一文，问底子每面几何？”据此，绘制如图所示程序框图，求得底面每边的果子数n为（　　）A．7B．8C．9D．10【解答】解：由S0=2，Sn+1=Sn+×（n+2），∴S9=2+++＞1320，故选：C．　12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣1|第22页（共22页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学，若方程f（x）=有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（　　）A．（﹣，1）B．（，1）C．（，1）D．（﹣1，）【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，∴f（﹣x）=|﹣x﹣1|=|x+1|，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=|x+1|，则f（x）=，即，由f（x）=得，f2（x）=x+a，画出函数y=x+a与y=f2（x）的图象，如图所示：由图知，当直线y=x+a过点A时有三个交点，且A（1，1），此时a=1，当直线y=x+a相切与点P时有三个交点，由图知，y=f2（x）=（x+1）2=x2+2x+1，则y′=2x+2，令y′=2x+2=1得x=，则y=，此时切点P（，），代入y=x+a得a=，∵方程f（x）=有4个不相等的实根，∴函数y=x+a与y=f2（x）的图象有四个不同的交点，由图可得，实数a的取值范围是（，1），故选B．　二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）第22页（共22页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学13．（5分）某学习小组6名同学的英语口试成绩如茎叶图所示，则这些成绩的中位数为　85　．【解答】解：由茎叶图得：学习小组6名同学的英语口试成绩从小到大为：76，81，84，86，87，90，∴这些成绩的中位数为：．故答案为：85．　14．（5分）空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数．AQI数值越小，说明空气质量越好．某地区1月份平均AQI（y）与年份（x）具有线性相关关系．下列最近3年的数据：年份2014201520161月份平均AQI（y）766848根据数据求得y关于x的线性回归方程为=﹣14x+a，则可预测2017年1月份该地区的平均AQI为　36　．【解答】解：=2015，=64，故64=﹣14×2015+a，解得：a=14×2015+64，故2017年1月份该地区的平均AQI为：y=﹣14×2017+14×2015+64=36，故答案为：36．　15．（5分）已知f（x）=x3+（a﹣1）x2是奇函数，则不等式f（ax）＞f（a﹣x）的解集是　{x|x＞}　．【解答】解：若f（x）=x3+（a﹣1）x2是奇函数，则a﹣1=0，即a=1，此时f（x）=x3，在R递增，第22页（共22页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学则不等式f（ax）＞f（a﹣x），即x＞1﹣x，解得：x＞，故不等式的解集是：{x|x＞}，故答案为：{x|x＞}．　16．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是　[1，2]　．【解答】解：当﹣1≤x≤k时，函数f（x）=log2（1﹣x）+1为减函数，且在区间左端点处有f（﹣1）=2，令f（x）=0，解得x=，令f（x）=x|x﹣1|=2，解得x=2，∵f（x）的值域为[0，2]，∴k≤，当k≤x≤a时，f（x）=x|x﹣1|=，∴f（x）在[k，]，[1，a]上单调递增，在[，1]上单调递减，从而当x=1时，函数有最小值，即为f（1）=0函数在右端点的函数值为f（2）=2，∵f（x）的值域为[0，2]，∴1≤a≤2故答案为：[1，2]第22页（共22页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学　三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知集合A={x|x＜﹣2或x＞0}，B={x|（）x≥3}（Ⅰ）求A∪B（Ⅱ）若集合C={x|a＜x≤a+1}，且A∩C=C，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵，且函数在R上为减函数，∴x≤﹣1．∴A∪B={x|x＜﹣2或x＞0}∪{x|x≤﹣1}={x|x≤﹣1或x＞0}；（Ⅱ）∵A∩C=C，∴C⊆A，∴a+1＜﹣2或a≥0，解得a＜﹣3或a≥0．　18．（12分）已知函数f（x）=，（x＞0且a≠1）的图象经过点（﹣2，3）．（Ⅰ）求a的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）若f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，求m的取值范围．第22页（共22页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学【解答】本题满分（12分）．解：（Ⅰ）∵函数的图象经过点（﹣2，3），∴a﹣2﹣1=3，解得，∴其图象如图所示：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（﹣∞，0），（2，+∞），∴m+1≤0或m≥2或，∴m的取值范围为m≤﹣1或0≤m≤1或m≥2．　19．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种方案可供选择．方案一：从装有4个红球和2个白球的不透明箱中，随机摸出2个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖；方案二：掷2颗骰子，如果出现的点数至少有一个为4则中奖，否则不中奖．（注：骰子（或球）的大小、形状、质地均相同）第22页（共22页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学（Ⅰ）有顾客认为，在方案一种，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于．你认为正确吗？请说明理由；（Ⅱ）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案？请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）将4个红球分别记为a1，a2，a3，a4，2个白球分别记为b1，b2，则从箱中随机摸出2个球有以下结果：{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，a4}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，a3}，{a2，a4}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a3，a4}，{a3，b1}，{a3，b2}，{a4，b1}，{a4，b2}，{b1，b2}，总共15种，其中2个都是红球的有{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，a4}，{a2，a3}，{a2，a4}，{a3，a4}共6种，所以方案一中奖的概率为，所以顾客的想法是错误的．（Ⅱ）抛掷2颗骰子，所有基本事件共有36种，其中出现的点数至少有一个4的基本事件有（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），（5，4），（6，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（4，6）共11种，所以方案二中奖的概率为，所以应该选择方案一．　20．（12分）下面给出了2010年亚洲一些国家的国民平均寿命（单位：岁）国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命阿曼76.1巴林76.1朝鲜68.9韩国80.6老挝64.3蒙古67.6泰国73.7约旦73.4越南75.0中国74.8伊朗74.0印度66.5阿富汗59.0阿联酋76.7东帝汶67.3柬埔寨66.4卡塔尔77.8科威特74.1尼泊尔68.0土耳其74.1伊拉克68.5以色列81.6新加坡81.5叙利亚72.3孟加拉国70.1塞浦路斯79.4沙特阿拉伯73.7哈萨克斯坦68.3印度尼西亚68.2土库曼斯坦65.0第22页（共22页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学缅甸64.9日本82.8文莱77.6也门62.8菲律宾67.8黎巴嫩78.5巴基斯坦65.2马来西亚74.2吉尔吉斯斯坦69.3乌兹别克斯坦67.9（Ⅰ）请补齐频率分布表，并求出相应频率分布直方图中的a，b；分组频数频率[59.0，63.0）20.05[63.0，67.0）　6　　0.15　[67.0，71.0）　11　　0.275　[71.0，75.0）90.225[75.0，7.0）70.175[79.0，83.0]50.125合计401.00（Ⅱ）请根据统计思想，利用（Ⅰ）中的频率分布直方图估计亚洲人民的平均寿命．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，计算[63.0，67.0）的频数是6，频率是=0.15；[67.0，71.0）的频数是11，频率是=0.275，补齐频率分布表如下；分组频数频率[59.0，63.0）20.05[63.0，67.0）60.15[67.0，71.0）110.275[71.0，75.0）90.225[75.0，7.0）70.175第22页（共22页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学[79.0，83.0]50.125合计401.00计算a==0.05625，b==0.04375；（Ⅱ）由频率分布直方图可知，以上所有国家的国民平均寿命的平均数约为=61×0.05+65×0.15+69×0.275+73×0.225+77×0.175+81×0.125=71.8；根据统计思想，估计亚洲人民的平均寿命大约为71.8岁．　21．（12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2，三月底测得覆盖面积为36m2，凤眼莲覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y=kax（k＞0，a＞1）与y=px+q（p＞0）可供选择．（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（Ⅱ）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）【解答】本小题满分（12分）．解：（Ⅰ）两个函数y=kax（k＞0，a＞1），在（0，+∞）上都是增函数，随着x的增加，函数y=kax（k＞0，a＞1）的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢．由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型y=kax（k＞0，a＞1）适合要求．由题意可知，x=2时，y=24；x=3时，y=36，所以解得所以该函数模型的解析式是（x∈N*）．第22页（共22页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学（Ⅱ）x=0时，，所以元旦放入凤眼莲面积是，由得，所以，因为，所以x≥6，所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．　22．（12分）已知函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，函数g（x）是h（x）=ex的反函数．（1）求函数g（f（x））的单调区间；（2）求证：函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1（参考数据：e=2.71828…，ln2≈0.693）．【解答】解：（1）函数g（x）是h（x）=ex的反函数，可得g（x）=lnx；函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，只能是f（﹣1）=8或f（2）=8，即有1﹣a=8或4+2a=8，解得a=2（﹣7舍去），函数g（f（x））=ln（x2+2x），由x2+2x＞0，可得x＞0或x＜﹣2．由复合函数的单调性，可得函数g（f（x））的单调增区间为（0，+∞）；单调减区间为（﹣∞，﹣2）；第22页（共22页） 最新最全的数学资料尽在千人QQ群323031380微信公众号福建数学（2）证明：由（1）得：f（x）=x2+2x，即φ（x）=f（x）h（x）﹣，（x＞0），设0＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴＜0，∵f（x）在（0，+∞）递增且f（x）＞0，∴f（x2）＞f（x1）＞0，∵＞＞0，∴f（x1）＜f（x2），∴φ（x1）﹣φ（x2）=f（x1）﹣f（x2）+＜0，即φ（x1）＜φ（x2），∴φ（x）在（0，+∞）递增；∵φ（）=﹣2＞﹣2=0，φ（）=﹣e＜﹣e＜0，即φ（）φ（）＜0，∴函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有1个零点x0，且x0∈（，），∴（+2x0）﹣=0，即=，∴h（x0）﹣g（x0）=﹣lnx0=﹣lnx0，∵y=﹣lnx在（0，）上是减函数，∴﹣lnx0＞﹣ln=+ln2＞+0.6=1，即g（x0）＜h（x0）﹣1，综上，函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1．　第22页（共22页）