重差术的方法论研

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2、搜尋．原載於《中國科技史論文集》，聯經，台北，1995，pp.85-105．作者任職於中央研究院數學研究所‧註釋‧對外搜尋關鍵字從單表到雙表——重差術的方法論研究（第2頁）李國偉§方法論的選擇§重差術的淵源§單表的方法論基礎§雙表的率§重差的變化§斜面重差§由天上回到地面§結語從單表到雙表——重差術的方法論研究李國偉重差術的淵源雖然在鄭玄釋《周禮》地官保氏九數及張街〈靈憲〉中都曾提到「重差」這個名詞，但是現在所謂重差術是指劉徽《海島算經》中利用多重勾股關係以求高遠的方法。劉徽《九章算術》注的〈自序〉中說：「輒造重

3、差，并為注解，以究古人之意，綴於勾股之下。」註6到了唐朝初年選定十部算經時，〈重差〉一卷才獨立出來成為《海島算經》。劉徽的〈自序〉差不多有一半的篇幅談及重差，相信重差術的建立必然是他十分得意的創作。至於發明重差術的思想淵源，〈自序〉中也有適當的交待。圖一「周官大司徒職，夏至日中立八尺之表，其景尺有五寸，謂之地中。說云，南戴日下萬五千里。夫云爾者，以術推之。」這段話點明了重差術思想肇始於以景度日，也就是圖一的幾何構型上。我們知道劉徽是非常注意推理的，在〈自序〉的前段他曾說：「事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本榦者，知發

4、其一端而已。」因此我們應掌握重差術肇始的端，再來審視它的流變。有了以景度日的端之後，是什麼樣的動機推動劉徽繼續發展呢？〈自序〉中接著說：「按九章立四表望遠及因木望山之術，皆端旁互見，無有超邈若斯之類。然則蒼等為術猶未足以博盡群數也。」這可能表示雖然〈九章算術〉中利用多重勾股關係可以解決較複雜的問題，但是劉徽似乎並不滿意因題造術的態度，而希望有一個基本的方式作為繼續發展多重勾股關係的端。他接著說：「徽尋九數有重差之名，原其指趣乃所以施於此也。凡望極高、測絕深而兼知其遠者必用重差，勾股則必以重差為率，故曰重差。」他找到的端

5、就是建立重差術，不論鄭玄、張衡所謂的重差到底是什麼，劉徽現在給出重差的典型，他說：「立兩表於洛陽之城，令高八尺。南北各盡平地，同日度其正中之景，以景差為法，表高乘表間為實，實如法而一，所得加表高，即日去地也。以南表乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地為勾、股，為之求弦，即日去人也。」這段話建立了重差的基本公式，也就是令圖二中S為日，T為日下，AB，DE為等高二表，BC，EF為表影，從而得到即即即圖二我們相信劉徽一定知道，若真的把兩表都立於洛陽之城，根本不可能測出明顯的景差，因為表間相對於去

6、日實在可說渺小得近乎零，圖二事實上又化約到圖一的情形。因此這段話除了給出重差公式的標準型，主要還在強調他的恩想淵源。因此當我們論述重差的正確性時，應該緊緊把握這條思路。也許正因為劉徽知道重差公式在實測上的限制，他把由量天動機導來的算式用去度地了。他說：「雖天圓穹之象猶曰可度，又況泰山之高與江海之廣哉。」而綴於〈勾股〉章之後所謂「度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望。」等等變化算法，都不再提量天之事了。總而言之，劉徽的〈自序〉強烈的暗示了如下的一條理路：單表的方法論基礎單表度日的方法是所謂「蓋天」宇宙論建

7、立天體數據的重要工具，記載本法的主要文獻是《周髀算經》，其中陳子對榮方說：「夏至南萬六千里，冬至南十三萬五千里，日中立竿無影。此一者天道之數。周髀長八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也。正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸。正北千里，勾一尺七寸。日益南，晷益長。候勾六尺，即取竹，空徑一寸，長八尺，捕影而視之，空正掩日，而日應空，由此觀之，率八十寸而得徑一寸。故以勾為首，以髀為股。從髀至日下六萬里而髀無影。從此以上至日，則八萬里。若求邪至日者，以日下為勾，日高為股。勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日，從髀所邪至日所十萬里。

8、以率率之，八十里得徑一里。十萬里得徑千二百五十里。故曰，日徑千二百五十里。」單表度日計算結果的正確性，從方法論的角度看來至少建立在兩類基本假設上，一類是幾何學的假設，另一類是非幾何學的假設。我們先從非幾何學的假設說起，又可分別出兩項：1、水平大地假設：雖然大地表面顯然是有高山陵谷種種崎嶇不平，但經過理想化後，可以假設有一個共同的基準水平面。這個面是沒有曲率的，並且也是測量標竿豎立處的地平面。《周髀算經》卷上商高有「笠以寫天」的說法，是明白指出天有曲率，而對地的曲率卻無類似的聲明。以古代人的知識水平來看，假設大地是水平的

9、不僅自然，也確實可簡化計算。但是《周髀算經》卷下所記述的宇宙模型變成了「天象蓋笠，地法覆槃」，並且極下地面高於四旁地面六萬里。從極下到四旁沿一個固定方向的地面，即使理想化成一條直線，單表度日的運用法仍然會產生困難。豎立標竿時基本上是利用準繩以求表與地面絕對垂直，如果地面相對於某個理想的絕對水平面是有傾斜度的，由圖三可知單表度日求出