一个递推方法在高考试题中重现

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1、一个递推方法在高考试题中重现2008年全国高考理科试卷压轴题考查了独特的“递推、放缩与分类”方法的综合运用，这是1984年全国高考理科数学试题压轴题所体现的数学思想方法的重现，或说复制。所以，2008年这道压轴试题的设计也算是高考命题中的一个惊人之举！试题一（1984年全国高考理科数学试题八，满分12分）设，给定数列，其中，。求证：（Ⅰ），；（Ⅱ）如果，那么；（Ⅲ）如果，那么当时，必有。证明：（Ⅰ）即证。，，，。假设，则，，。综上所述，根据数学归纳法，命题成立。（Ⅱ）由（Ⅰ），得，。又，，即。（Ⅲ）任取，分类讨

2、论：若，则由（Ⅰ）得，。若，则，则对一切，都有，。（递推、放缩），。试题二（2008年全国高考卷（Ⅰ）理科数学试题22，满分12分）设函数，数列满足，。（Ⅰ）证明：函数在区间上是增函数；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）设，整数，证明：。解：（Ⅰ）当时，，在区间上是增函数。（Ⅱ），由（Ⅰ）得，，即。假设，则，由数学归纳法可知，，从而。（Ⅲ）递推：方缩：，。分类：若，则；若，则，所以，且整数，，，故。评注：为了对比，我们有意为两道试题写出比较一致的解法。不难看出，两道试题都体现了“数学问题的结论是逐渐接近的”，都以递推接近结论

3、，都用分类讨论完成推证；此外，1984年的试题三个结论都考查的是递推和数学归纳法，2008年的试题还考查了导数知识，体现了中学数学教学内容和高考命题都在与时俱进；1984年的试题给出的递推公式可以求通项公式，而2008年的这道题目则不能；有人说2008年这道考题的一个重要背景是不等式，笔者认为，这种意义是很平凡的，而重在放缩接近结论；但是，好像今年理科考生都叫难的压轴题还没有达到1984年那道试题的难度。