高等数学问题初等化

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1、高精度定积分4n等分初等算法周钰承愿此文成为“钻牛角尖”的中小学生和他们的老师的福音。-------题记如何求任意光滑曲线的弧长和任意光滑曲线的封闭图形的面积？一些勤思好问的学生（他们考试成绩未必优秀），常常问得他们的老师头疼（如果某师终生没有被问过，表明此师过严了），老师头疼时只好打击这些“调皮学生”学习数学的兴趣。这里略去高等数学的推理及证明，直接介绍一种中小学生就能完成的万能方法，希望能得到师生们的喜欢。一、光滑曲线相关的面积计算如图，画一条较长的弦，设较长弦长度为A。把弦4n等分，过等分点作弦的垂线，垂线在封闭图形内的线段分别长B0，B1，B2，……，B4n。下面这个公

2、式是定积分4n等分法公式，为笔者独创，目前没有面世。，且是正整数。当n=5时，即我们沿较长弦20等分，精度比同样20等分的辛卜生公式高一千倍以上，通常在实际计算中误差率低于一亿分之一。当我们20等分时，把n=5代入可得到面积的简化公式为：这个简化公式就是我们面对中小学生解决此类问题的法宝。当然我们也可以8等分，12等分，16等分，不过需要把n的值代入定积分4n等分公式，把公式简化。我们必须清楚的是，只要曲线光滑（即曲线处处存在切线），这个20等分的简化公式的误差率就能低于一亿分之一，求某图像的固定面积或弧长，所选取的被等分的线段越长，精度越高。例1．计算函数Y=X^2-4的图像

3、与X轴所围成的封闭图形的面积.解：A=2-(-2)=4,分成20等分，分点横坐标为-2，-1.8，-1.6，…，1.8，2；B0=

4、(-2)^2-4

5、=0,B1=

6、(-1.8)^2-4

7、=0.76,…,B20=

8、2^2-4

9、=0;用计算器得面积为5.333333333333,其真值为16/3.（如图）注：点击图片可以调整大小，看完后再还原，否则版面就乱。二、光滑曲线的弧长计算计算弧长需要中学生才能完成，因为需要求导数。对原函数求得导函数D（X），再把1和导数D（X）当成一个三角形的两条直角边，求斜边F=√（1+D^2）在某个区间上的定积分。依照4n等分法和简化公式即可计算任意光

10、滑曲线的弧长：其中定积分的区间长度即为简化公式中的A，区间的20等分点所求得的F值分别为简化公式中的B0,B1,……，B20。例2.计算自然对数函数ln(x)的图像从点（1，0）到点（3，ln3）之间弧长。解：将ln(x)求导得1/x。计算F=√[1+(1/x)^2]在区间[1，3]上各20等分点的函数值。A=3-1=2；B0=√2，B1=√（1+1/1.21），…，B20=√（1+1/9）；代入公式用计算器求得弧长约为：2.30198753547237（如图）此题真值为：=2.3019875345776…