高中数学 数列的综合应用

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1、数列的综合应用(推荐时间：80分钟)1．已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝a(a>0)．数列{bn}满足bn＝anan＋1(n∈N*)．(1)若{an}是等差数列，且b3＝12，求a的值及{an}的通项公式；(2)若{an}是等比数列，求{bn}的前n项和Sn.解　(1)∵{an}是等差数列，a1＝1，a2＝a，∴an＝1＋(n－1)(a－1)．又∵b3＝12，∴a3a4＝12，即(2a－1)(3a－2)＝12，解得a＝2或a＝－.∵a>0，∴a＝2.∴an＝n.(2)∵{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a(a>0)，∴an＝an－1，∴bn＝anan

2、＋1＝a2n－1.∵＝a2，∴数列{bn}是首项为a，公比为a2的等比数列．当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝＝.综上，Sn＝2．在等比数列{an}中，a1>0，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1、a5的等比中项为16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log4an，数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得＋＋＋…＋

3、n＋1＝，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝.∵＝＝，∴＋＋＋…＋＝＝<，∴正整数k的最小值为3.3．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和Tn.解　(1)由题知，当n＝k∈N*时，Sn＝－n2＋kn取得最大值，即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，故k2＝16(k∈N*)，因此k＝4，从而an＝Sn－Sn－1＝－n(n≥2)．又a1＝S1＝，所以an＝－n.(2)设bn＝＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋＋，所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－＝4－－＝4－.

4、4．(2012·山东)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.(1)求数列{an}的通项公式；(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.解　(1)因为{an}是一个等差数列，所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，所以a4＝28.设数列{an}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9.由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．(2)对m∈N*，若9m

5、9n<92m＋8，因此9m－1＋1≤n≤92m－1，故得bm＝92m－1－9m－1.于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)＝－＝.5．已知等差数列{an}的首项a1＝4，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；(2)将数列{an}的前四项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前三项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N＋，使对任意n∈N＋总有Tn

6、公差d＝－1，所以an＝5－n，从而Sn＝.(2)由题意知b1＝4，b2＝2，b3＝1，设等比数列的公比为q，则q＝＝，所以Tn＝＝8.因为f(n)＝n是关于自然数n的减函数，所以{Tn}是递增数列，得4≤Tn<8.又Sm＝＝－2＋，当m＝4或m＝5时，Sm取得最大值，即(Sm)max＝S4＝S5＝10，若存在m∈N＋，使对任意n∈N＋总有Tn

7、年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n年该生产线的维护费用为an，求an的表达式；(2)若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线．求该生产线前n年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？解　(1)由题知，当n≤7时，数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，故an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2.当n≥8时，数列{an}从a7开始构成首项为a7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝的等比数列，则此时an＝16×n－7，∴an＝(2)设Sn为数列{an}的前n项和，当1≤

8、n≤7时，Sn＝4n＋×2＝n2＋3n，当n≥8时，