江苏高考数学综合题训练187

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1、海淀期末16.已知函数g(x)是f(x)=x2（x＞0）的反函数，点M（x0，y0）、N(y0，x0)分别是f(x)、g(x)图象上的点，l1、l2分别是函数f(x)、g(x)的图象在M、N两点处的切线，且l1∥l2。（Ⅰ）求M、N两点的坐标；（Ⅱ）求经过点O、M、N的圆的方程（O是坐标原点）.解：（Ⅰ）因为f(x)=x2(x＞0)，所以g(x)=（x＞0）.从而f′(x)=2x，g′(x)=.…………………………………………3分所以切线l1，l2的斜率分别为k1=f′(x0)=2x0，k2=g′(y0)=.又y0=(

2、x0＞0)，所以k2=.………………………………………4分因为两切线l1，l2平行，所以k1=k2.…………………………………5分从而(2x0)2=1.因为x0＞0.所以x0=所以M，N两点的坐标分别为(，)，（，）.………………7分（Ⅱ）设过O、M、N三点的圆的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为圆过原点，所以F=0.因为M、N关于直线y=x对称，所以圆心在直线y=x上.所以D=E.………………………………………………………………………10分又因为M(，)在圆上，所以D=E=.所以过O、M、N三点的圆的方程为

3、:x2+y2.………12分20.如果正数数列{an}满足:对任意的正数M，都存在正整数n0，使得an0＞M，则称数列{an}是一个无界正数列.(Ⅰ)若an=3+2sin(n)（n=1，2，3，…），bn=分别判断数列{an}、{bn}是否为无界正数列，并说明理由；(Ⅱ)若an=n+2，是否存在正整数k，使得对于一切n≥k，有…＜成立；(Ⅲ)若数列{an}是单调递增的无界正数列，求证:存在正整数m，使得…＜m-2009.解：（Ⅰ）{an}不是无界正数列，理由如下：………………………………………1分取M=5，显然an=3+

4、2sin(n)≤5，不存在正整数n0满足＞5；………………2分{bn}是无界正数列.理由如下：………………………………………………………3分对任意的正数M，取n0为大于2M的一个偶数，有＞＞M，所以{bn}是无界正数列.…………………………………………………………………4分（Ⅱ）存在满足题意的正整数k.理由如下：当n≥3时，因为=≥＞，即取k=3，对于一切n≥k，有＜n成立.………………9分注:k取大于或等于3的整数即可.（Ⅲ）证明：因为数列{an}是单调递增的正数列，所以＞即＜n-1+.因为{an}是无界正数列，取M

5、=2a1，由定义知存在正整数n1，使＞2a1，所以＜n1.由定义可知{an}是无穷数列，考察数列，，，…，显然这仍是一个单调递增的无界正数列，同上理由可知存在正整数n2，使得＜（n2-n1）.重复上述操作，直到确定相应的正整数n4018.则＜=-2009.即存在正整数m=，使得＜m-2009成立.…………………………………………………………………………………14分说明：其他正确解法按相应步骤给分.上海七校18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分.如图，某海滨浴场的岸边可近似地看作直

6、线，救生员现在岸边的处，发现海中的处有人求救，救生员没有直接从处游向处，而是沿岸边跑到离最近的处，然后游向处，若救生员在岸边的行进速度为米/秒，在游水中的行进速度为米/秒，且，米．（1）分析救生员的选择是否正确；（2）在上找一点，使救生员从经到的时间为．根据下列提示任选其一或另选自变量写出表示成自变量的函数关系式：①设，将表示成的函数关系式；②设，将表示成的函数关系式；18．解：（1）直接从处游向处时间为（秒），从经到处的时间为（秒），易知，即，所以，救生员选择“从经到处”是正确的．（2）设，则，，，从经到处的时间为设

7、，则，从经到处的时间为．19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知椭圆的右焦点到上顶点的距离为，，点是线段上的一个动点.(1)求椭圆的方程;(2)若过点存在一条与轴不垂直的直线与椭圆交于、两点,使得，求实数m的取值范围．19．解：(1)由题意可知，得，椭圆的方程为；（2）由（1）得，所以.由于存在满足题意的直线，设的方程为，代入，得，设，则，，，而的方向向量为，，当时,,即存在这样的直线．20.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分4分，第3小题满分6

8、分.已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立。设数列的前项和，（1）求数列的通项公式；（2）试构造一个数列，（写出的一个通项公式）满足：对任意的正整数都有，且，并说明理由；（3）若（为非零常数，n∈N*），问是否存在整数，使得对任意n∈N*，都有．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由