红对勾理科数学课时作业53

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1、课时作业53　双曲线时间：45分钟　分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．(2013·福建卷)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)A.B.C．1D.解析：由题知顶点为(±1,0)，渐近线为x±y＝0，则所求距离为d＝＝.答案：B2．(2013·湖北卷)已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的(　　)A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：对于双曲线C1，有a2＝sin2θ，b2＝cos2θ，∴c2＝a2＋b2＝1，∴c＝1；对于双曲线C2，有a2＝cos2θ，b2＝sin2θ，∴c2＝a2＋b2＝1，∴c＝1，∴C

2、1和C2焦距相等．答案：D3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线的渐近线方程为(　　)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±2xD．y＝±x解析：由题意得＝，c2＝3a2，则b2＝2a2，∴＝，则该双曲线的渐近线为y＝±x＝±x，选A.答案：A4．已知点P(2，)是双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线上的一点，E、F分别是双曲线的左、右焦点，若·＝0，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：由条件易得＝，且(2＋c，)·(2－c，)＝0，联立求得a2＝4，b2＝5，故选C.答案：C5．若双曲线x2＋＝1的一条渐近线的倾斜角α∈，

3、则m的取值范围是(　　)A．(－3,0)B．(－，0)C．(0,3)D．(－，0)解析：双曲线x2＋＝1的渐近线方程为x±＝0，即y＝±x，∴0<<，∴0<－m<3，即－30，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为(　　)A．2B.C.D.解析：∵△ABF2为等边三角形，∴

4、AB

5、＝

6、AF2

7、＝

8、BF2

9、.再由双曲线的定义得

10、BF1

11、－

12、BF2

13、＝

14、BF1

15、－

16、AB

17、＝

18、AF1

19、＝2a，∴

20、AF2

21、＝4a，又∵∠F1AF2＝120°，在△

22、AF1F2中由余弦定理得cos120°＝－＝得c2＝7a2，∴e＝，∴选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2013·江苏卷)双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．解析：由题可知a2＝16，b2＝9，则a＝4，b＝3，故渐近线方程为y＝±x＝±x.答案：y＝±x8．(2013·天津卷)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：由题可知－＝－2且＝2，解得a2＝1，b2＝3，所求方程为x2－＝1.答案：x2－＝19．已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b

23、>0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若

24、AB

25、:

26、BF2

27、:

28、AF2

29、＝3:4:5，则双曲线的离心率为________．解析：如图，设AB＝3，BF2＝4，AF2＝5，则BF1＝4＋2a，AF1＝5－2a.AB＝BF1－AF1＝4a－1＝3，∴a＝1.又AB2＋BF＝AF，∴BF1⊥BF2.在Rt△F1BF2中，BF＋BF＝F1F，即62＋42＝4c2，解得c＝.∴离心率e＝＝.答案：三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)10．(15分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)

30、．点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：·＝0.解：(1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为－＝1.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，kMF1·kMF2＝＝－.∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴·＝0.11．(20分)已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点为F1，F2在x轴上，双曲线C的右支上存在一点A，使·＝0且△F1A

31、F2的面积为1.求双曲线C的标准方程．解：由题意设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知得e＝＝＝，解得a＝2b.∵·＝0且△F1AF2的面积为1，∴S△F1AF2＝

32、F1A

33、·

34、F2A

35、＝1，

36、F1A

37、2＋

38、F2A

39、2＝

40、F1F2

41、2.又

42、F1A

43、－

44、F2A

45、＝2a，∴(

46、F1A

47、－

48、F2A

49、)2＝4c2－4＝4a2.∴b＝1，a＝2，∴双曲线C的标准方程为－y2＝1.——创新应用——12．(20分)(2013·大纲全国卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2