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1、《等差（比）数列性质的灵活应用》发表在《学习报》2010-2011第10期总第1122期第2版2010年9月3日国内统一刊号CN14-00708/(F)邮发代码：21-79等差（比）数列性质的灵活应用特级教师王新敞准确理解和熟记等差、等比数列的相关公式，灵活运用等差、等比数列的性质解题就可以达到事半功倍之效．1．等差数列相关公式及性质等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d可以推广到an=ak+(n-k)d(其中a1为首项、ak为已知的第k项)．当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数．根据通项公式，易得等差数列{an}中若
2、m+n=p+q，则．等差数列的前n项和公式Sn=或Sn=可以转化为Sn=，当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式．而且等差数列的通项an与前n项和Sn总有关系：an=．2．等比数列相关公式及性质等比数列的通项公式an=a1qn-1可以推广到an=akqn-k(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)．根据通项公式，易得等比数列{an}中，若m+n=p+q，则．等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1(是关于n的正比例式)；当q≠1时，Sn=或Sn=可以转化为．例1公差不为零的等差
3、数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q.解:设等差数列的通项an=a1+(n-1)d(d≠0).根据题意得a32=a2a6即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),解得.所以例2在等比数列{an}的前n项中，a1最小，且a1+an=66，a2an-1=128，前n项和Sn=126,求n和公比q．解：∵{an}为等比数列∴a1·an=a2·an-1．由a1·an=128，a1+an=66且a1最小，得a1=2，an=64．．解得．解得n=6,∴n=6,q=2．例3已知正项等比数列{an}满足条件：①；②；求的通项公式．解：易知，，由已知得①，②①÷
4、②得，即，∴①×②得，即，即，∴，即．∴．例4在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3,…,an使这n+2个数成等比数列;又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3,…,bn使这n+2个数成等差数列.记An=a1a2a3…an,Bn=b1+b2+b3+…+bn.求数列{An}和{Bn}的通项.解:∵1,a1,a2,a3,…,an,2成等比数列,∴a1·an=a2·an-1=…=ak·an-k+1=…=1×2=2∴A2n=(a1·an)(a2·an-1)…(ak·an-k+1)…(an-1·a2)(an·a1)=2n∴.∵1,b1,b2,b3,…,bn,2
5、成等差数列,∴b1+bn=1+2=3，∴．等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式联系着五个基本量:a1,d(或q),n,an,Sn.“知三求二”是最基本的运算,充分利用公式建立方程是最基本的思想方法．列举一些项来判断“关系”和“性质”是解决数列问题常用的思路和手段．
