第十二章 概率与统计复习纲要

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1、第十二章概率与统计复习纲要一．随机变量１．定义（１）随机变量：１〉.定义：若随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么，这样的变量叫随机变量．２〉.注意：①随机变量用希腊小写字母ξ，η表示．②随机变量将随机事件的结果数量化．（２）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按照一定次序一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量．（３*）连续性随机变量：随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫连续性随机变量．（４）若ξ是随机变量，则η＝ａξ＋ｂ（ａ，ｂ是常数，ａ≠０）也是随机变量．２.离散型随机变量的分布列：（１）离散型随机变量的分布列的定义：设离散型随机变量ξ的可能取值为：ｘ1，ｘ2，

2、…，ｘｉ，…，ｘｎ．ξ取每个值的概率为：.则称表ξｘ1ｘ2…ｘｉ…ｘｎｐP1P2…Pi…Pｎ为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列．（２）两个基本性质：①Pi≥０（ｉ＝１，２，…，ｎ）②P1＋P2＋…＋Pｎ＝１．（３）求分布列的方法和步骤：①首先确定随机变量ξ的可能取值有哪些．②求出每种取值下的随机变量的概率．③列表对应，即分布列．（４）结论：一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它在这个范围内各个取值的概率之和．３.离散型随机变量常见的几种分布：（１）两点分布：分布列：ξ１０ｐｐ１－ｐ其中０＜ｐ＜１．（２）二项分布：１〉.定义：在ｎ次独立重复试验中，设事件Ａ发生的次数为ξ，在每次

3、试验中事件Ａ发生的概率为ｐ，那么，在ｎ次独立重复试验中，事件Ａ恰好发生ｋ次的概率为：称这样的随机变量ξ服从二项分布．记作：ξ－Ｂ（ｎ，ｐ）．（其中ｎ，ｐ为参数）．２〉.分布列：Ｐ7．（３）几何分布：１〉.定义：在独立重复试验中某事件Ａ在一次试验中发生的概率为ｐ，则事件Ａ第一次发生时所做的实验次数ξ，也是取值为正整数的随机变量，则事件Ａ恰好在ｋ次试验中第一次发生的概率为：称这样的随机变量ξ服从几何分布．记作：２〉.分布列：Ｐ8.４.离散型随机变量的期望与方差（１）离散型随机变量的期望：１〉.定义：若离散型随机变量ξ的概率分布为：.则称为ξ的数学期望或平均数，简称期望．２〉.理解：①期望是离散型

4、随机变量的一个特征数，反映了离散型随机变量取值的平均水平．②期望是算数平均数的推广，是概率意义下的平均．③Ｅξ是一个实数。由ξ的分布列唯一确定，即，随机变量ξ是可变的，而Ｅξ不变．３〉.性质：Ｅ（ａξ＋ｂ）＝ａＥξ＋ｂ．４〉.求Ｅξ的步骤：①列出相应的分布列．②利用公式求出．（２）方差１〉.定义：若离散型随机变量ξ的概率分布为：则称为离散型随机变量ξ的均方差，简称方差．Ｄξ的算术平方根叫离散型随机变量的标准差．记作：δξ，即．２〉.理解：①Ｄξ与δξ都反映了随机变量ξ取值偏离均值Ｅξ的平均程度．②Ｄξ与δξ都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度，Ｄξ越小，稳定性越高，波动越小，

5、表示ξ取值比较集中，Ｅξ5的代表性好．③δξ与ξ具有相同的单位．３〉.求方差的方法：①定义：②公式：４〉.性质：Ｄ（ａξ＋ｂ）＝ａ2Ｄξ．５〉.特殊分布的Ｅξ和Ｄξ①两点分布：②二项分布：③几何分布：二．统计（一）．抽样方法１．基本概念①总体：所要考察的对象的全体．②个体：总体中的每一个考察对象．③样本：从总体中抽取的一部分个体．叫总体的一个样本．④样本容量：样本中个体的数目．⑤抽样：从总体中抽取一部分个体作为样本的过程．２．抽样的分类：说明：着重研究不放回抽样．３．简单随机抽样（１）.定义：Ｐ19.（２）.特点：①总体个数Ｎ是有限的．②样本容量ｎ小于或总体的个数Ｎ，即ｎ≤Ｎ．③样本是从总体

6、中逐个抽取的．④简单随机抽样是一种不放回抽样．⑤每个个体入样的可能性（概率）均为．（３）简单随机抽样的实施方法（主要有两种）．抽签法（抓阄法），随机数表法，计算机模拟法，使用统计软件直接抽取．１〉.抽签法①.定义：Ｐ20.②.适用范围：总体的个体不多时．③.步骤：ⅰ〉.把总体中的Ｎ个个体编号．ⅱ〉.把号码写在号签上，将号签放在一个容器中搅拌均匀．ⅲ〉.每次从中抽取一个号签，连续抽取ｎ次，就得到一个容量为ｎ的样本．④.优点:简单易行,当总体中个体不多时,搅拌均匀容易.⑤.缺点:当总体中个体较多时,很难搅拌均匀,使样本代表性差的可能性很大.２〉.随机数表法①.定义：按照一定的规则到随机数表中选取

7、号码的抽样方法．②.随机数表：是统计工作者用计算机生成的随机数，并保证表中的每个位置上的数字是等可能出现的．③.步骤：ⅰ〉.把总体中的每个个体编号．ⅱ〉.在随机数表中任选一个数（确定此数的行数和列数）．ⅲ〉.从选定的数开始按一定的方向（向左，向右，向下，向上）读数，把适当总体编号的每个号码依次取出，直到样本容量的数目为止．４．系统抽样（机械抽样）（１）定义：Ｐ22.（２）适用范围：总体的个体较多时．（３）步骤