曲线和方程--教案二

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1、湖北省黄石市第三中学肖燕鹏mailto:hsxyp@163.com曲线和方程  教学目标1.使学生了解曲线的点集与方程的解集之间的关系,从而掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”这两个概念.2.使学生掌握证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0的方法和步骤.3.通过曲线和方程概念的知识形成过程,培养学生合情推理能力、数学交流能力、探索能力,确立“数形结合”的思想方法,并进一步提高逻辑思维能力.教学重点与难点对“曲线的方程”、“方程的曲线”定个中两个关系的理解.教学过程师:解析几何重要内容之一是利用代数方法来研究几何中曲线的问题.即通过建立坐标系,利用平面内点和有序实数对之间一一对应关系,建立曲线

2、的方程,并通过对方程的讨论来研究曲线的几何性质.为此,在第二章“圆锥曲线”的第一节,先建立曲线和方程的关系.这里,先看上堂课后留的两个思考题.(板书)例1 (1)画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l,并写出其方程.(2)画出函数y=2x2(-1≤x≤2)的图象C.(选择二位学生自制的计算机软盘或投影片,请二位学生各自操作,展示在投影仪上.取较好的解答定格,如图2-1.)第7页(共7页)湖北省黄石市第三中学肖燕鹏mailto:hsxyp@163.com师:这二位同学解答很好.请大家对照直线l及方程,对照抛物线的一倍分C及方程,谈谈符合某种条件的点的集合L和C分别与其方程是怎样地联系起

3、来的?(鼓励学生观察、联想,进行数学交流.学生讨论后选其两个回答,再口述一遍.)生甲:如果M(x0,y0)是l上的任意一点,它到两个坐标轴的距离一定相等,因此x0=y0,那么它的坐标(x0,y0)是方程x-y=0的解;反过来,如果(x0,y0)是方程x-y=0的解,即x0,y0,那么以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等,它一定在这条平分线l上.为此把直线l与方程x-y=0密切地联系了起来.生乙:如果点M(x0,y0)是C上的点,那么(x0,y0)一定是y=2x2的解;反过来,如果(x0,y0)是方程y=2x2的解,那么以它为坐标的点一定在C上.师:学生甲的回答清楚地说明了直线l完整地表示

4、方程x-y=0,而方程x-y=0完整地表示了直线l.但学生乙的回答是否完满,请同学们思考,发表见解,并用最短的语言写在投影片上.(老师巡视后选一张投影展示定格.)学生乙的回答忽略了-1≤x≤2,从而点集C与方程y=2x2的解的集合G无法建立一一对应关系.师:请这位同学进一步阐明自己的见解.生:就本题而言,如(3,18)∈G,但P(3,18)∈C.方程漏掉了制约条件-1≤x≤2.为此正确的理解是:如果点M(x0,y0)是C上的点,那么(x0,y0)一定是y=2x2(-1≤x≤2)的解;反过来,如果(x0,y0)是方程y=2x2(-1≤x≤2)的解,那么以它的坐标为点一定在C上.师:这样的见解

5、才确切地反映了点集C与方程y=2x2(-1≤x≤2)的解集G是一一对应的.从而,抛物线的一部分C完整地表示了方程y=2x2(-1≤x≤2),而方程y=2x2(-1≤x≤2)完整地表示了C.现在我们来考虑以下这个问题:点集C还是抛物线的一部分,方程却是y=2x2,不加任何制约条件.那么,此时的点集C与方程的解集是一个什么样的关系呢?(鼓励学生勇于探索,为合理推理铺垫.学生讨论后口答.)生丙:曲线C上的任一点P的坐标(x0,y0)一定是y=2x2的解;但若(x0,y0)是y=2x2的解,以它为坐标的点不一定在C上,有一部分在y=2x2(x<-1或>2=的图象上.师:回答得很好.我们再来考虑一个

6、问题:点集C是抛物线y=2x2,而方程还是y=2x2(-1≤x≤2).它们的关系又是怎样呢?(进一步引导学生积极参与并多向思维.学生口答.)生丁:曲线C上点的坐标不一定是y=2x2(-1≤x≤2)的解;而以y=2x2(-1≤x≤2)的解为坐标的点却一定在C上.师:以上两个问题反映了点集C与方程的解集不是一一对应的两种截然不同的不完整的关系.那么怎样才能使点集C与方程的解是一一对应的呢?为了研究方便,从曲线是点按照某种条件运动所成的轨迹的意义来说,我们也把直线看成曲线.在平面直角坐标系中,点和有序实数对(x,y)联系起来,而二元方程f(x,y)=0的任一个解恰是一个有序实数对.现在我们一起归

7、纳一下要具备的条件(学生讨论、口答).师:同学们讨论得很好.曲线C和二元方程f(x,y)=0应具备以下两个条件:1.若P(x0,y0)∈C,则f(x0,y0)=0成立;2.若f(x0,y0)=0,则P(x0,y0)∈C.本节课的“曲线的方程”与“方程的曲线(图形)”的定义是这样(老师操作计算机或投影片定格):第7页(共7页)湖北省黄石市第三中学肖燕鹏mailto:hsxyp@163.com一般地,在直角坐标系中,如果某曲

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