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1、湖北省黄石市第三中学肖燕鹏mailto:hsxyp@163.com曲线和方程 教学目标1.使学生了解曲线的点集与方程的解集之间的关系，从而掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”这两个概念.2.使学生掌握证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0的方法和步骤.3.通过曲线和方程概念的知识形成过程，培养学生合情推理能力、数学交流能力、探索能力，确立“数形结合”的思想方法，并进一步提高逻辑思维能力.教学重点与难点对“曲线的方程”、“方程的曲线”定个中两个关系的理解.教学过程师：解析几何重要内容之一是利用代数方法来研究几何中曲线的问题.即通过建立坐标系，利用平面内点和有序实数对
2、之间一一对应关系，建立曲线的方程，并通过对方程的讨论来研究曲线的几何性质.为此，在第二章“圆锥曲线”的第一节，先建立曲线和方程的关系.这里，先看上堂课后留的两个思考题.(板书)例1 (1)画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l，并写出其方程.(2)画出函数y=2x2(-1≤x≤2)的图象C.(选择二位学生自制的计算机软盘或投影片，请二位学生各自操作，展示在投影仪上.取较好的解答定格，如图2-1.)第7页（共7页）湖北省黄石市第三中学肖燕鹏mailto:hsxyp@163.com师：这二位同学解答很好.请大家对照直线l及方程，对照抛物线的一倍分C及方程，谈谈符
3、合某种条件的点的集合L和C分别与其方程是怎样地联系起来的？(鼓励学生观察、联想，进行数学交流.学生讨论后选其两个回答，再口述一遍.)生甲：如果M(x0,y0)是l上的任意一点，它到两个坐标轴的距离一定相等，因此x0=y0，那么它的坐标(x0,y0)是方程x-y=0的解；反过来，如果(x0,y0)是方程x-y=0的解，即x0,y0，那么以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条平分线l上.为此把直线l与方程x-y=0密切地联系了起来.生乙：如果点M(x0,y0)是C上的点，那么(x0,y0)一定是y=2x2的解；反过来，如果(x0,y0)是方程y=2x2的
4、解，那么以它为坐标的点一定在C上.师：学生甲的回答清楚地说明了直线l完整地表示方程x-y=0，而方程x-y=0完整地表示了直线l.但学生乙的回答是否完满，请同学们思考，发表见解，并用最短的语言写在投影片上.(老师巡视后选一张投影展示定格.)学生乙的回答忽略了-1≤x≤2，从而点集C与方程y=2x2的解的集合G无法建立一一对应关系.师：请这位同学进一步阐明自己的见解.生：就本题而言，如(3，18)∈G，但P(3，18)∈C.方程漏掉了制约条件-1≤x≤2.为此正确的理解是：如果点M(x0,y0)是C上的点，那么(x0,y0)一定是y=2x2(-1≤x≤2)的解；反过
5、来，如果(x0,y0)是方程y=2x2(-1≤x≤2)的解，那么以它的坐标为点一定在C上.师：这样的见解才确切地反映了点集C与方程y=2x2(-1≤x≤2)的解集G是一一对应的.从而，抛物线的一部分C完整地表示了方程y=2x2(-1≤x≤2)，而方程y=2x2(-1≤x≤2)完整地表示了C.现在我们来考虑以下这个问题：点集C还是抛物线的一部分，方程却是y=2x2，不加任何制约条件.那么，此时的点集C与方程的解集是一个什么样的关系呢?(鼓励学生勇于探索，为合理推理铺垫.学生讨论后口答.)生丙：曲线C上的任一点P的坐标(x0,y0)一定是y=2x2的解；但若(x0,y
6、0)是y=2x2的解，以它为坐标的点不一定在C上，有一部分在y=2x2(x＜-1或＞2＝的图象上.师：回答得很好.我们再来考虑一个问题：点集C是抛物线y=2x2，而方程还是y=2x2(-1≤x≤2).它们的关系又是怎样呢?(进一步引导学生积极参与并多向思维.学生口答.)生丁：曲线C上点的坐标不一定是y=2x2(-1≤x≤2)的解；而以y=2x2(-1≤x≤2)的解为坐标的点却一定在C上.师：以上两个问题反映了点集C与方程的解集不是一一对应的两种截然不同的不完整的关系.那么怎样才能使点集C与方程的解是一一对应的呢?为了研究方便，从曲线是点按照某种条件运动所成的轨迹的
7、意义来说，我们也把直线看成曲线.在平面直角坐标系中，点和有序实数对(x,y)联系起来，而二元方程f(x,y)=0的任一个解恰是一个有序实数对.现在我们一起归纳一下要具备的条件(学生讨论、口答).师：同学们讨论得很好.曲线C和二元方程f(x,y)=0应具备以下两个条件：1.若P(x0,y0)∈C,则f(x0,y0)=0成立；2.若f(x0,y0)=0,则P(x0,y0)∈C.本节课的“曲线的方程”与“方程的曲线(图形)”的定义是这样(老师操作计算机或投影片定格)：第7页（共7页）湖北省黄石市第三中学肖燕鹏mailto:hsxyp@163.com一般地，在直角坐标系中
8、，如果某曲
