排列、组合中相同元素与不同元素的分组分配问题

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1、排列、组合中相同元素与不同元素的分组分配问题作者：崔庆勋题目：版别：期别排列、组合中相同元素与不同元素的分组分配问题在排列、组合的学习中分组分配问题经常遇到，本文谈一谈几种常见问题。一：不同元素的分组分配例：6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法(1)分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本；(2)平均分成三堆；(3)分成三堆，一堆四本，另两堆各一本；(4)分成四堆，两堆各一本，另两堆各两本；(5)分给甲、乙、丙三个人，甲得一本，乙得两本，丙得三本；(6)分给甲、乙、丙三个人，一人得一本，一人得两本，一人得三本；(7)平均分给甲、乙、丙三个人；(8)分给甲、乙

2、、丙三个人，甲得四本，乙、丙各得一本；(9)分给甲、乙、丙三个人，一人得四本，另两人各得一本；(10)分给甲、乙、丙、丁四个人，甲、乙各得一本，丙、丁各得两本；(11)分给甲、乙、丙、丁四个人，两人各得一本，另两人各得两本；分析：在排列、组合中不同元素的分组分配问题一般按照“先分组再分配”的原则，但不排除其他途径。在分组时要区分是均分还是非均分或部分均分，在分配时要区分是定向分配还是非定向分配。（1）非均匀分组,分步产生每一组不会造成重复:(2)均匀分组,分步产生每一组会造成重复,应消去步骤造成的重复计数：（3）部分均匀分组，应消去均匀分组时步骤上造成的重复计数：

3、（4）同（3）：（5）非均匀定向分配，等同于非均匀分组：亦可理解为甲、乙、丙依次选择。（6）非均匀不定向分配，分组后再分配：（7）均匀分配，分组后再分配：亦可理解为甲、乙、丙依次选择:（8）部分非均匀定向分配，均匀部分要分配：亦可理解为甲、乙、丙依次选择:(9)部分非均匀不定向分配，分组后再分配：（10）同（8）：:亦可理解为甲、乙、丙依次选择:（11）同（9）小结：（1）分组时应注意消去均匀部分的重复计数。（2）分组分配时为使思路明了，一般按照“先分组再分配”的原则。（3）定向分配时可理解为依次选择。二：相同元素的分组分配例：把9个相同的足球放入编号为1,2,3

4、的三个箱中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的方法有几种？分析：相同元素的分组比较简单，分配可用“隔板法”。常见有两种方式。方法一：转化无条件的一类。先满足条件，分别放入1，2，3个小球，还剩3个小球，三个盒子要2个隔板，小球和隔板数目为5，在5个位置中选2个位置放隔板，其它放小球，共有。方法二：转化至少放一个的一类。先放0，1，2个小球，还剩6个小球，六个小球有5个间隙，在5个间隙中选2个间隙放隔板，共有。