怀化学院省级精品课程-高等代数教案：第二章 行列式

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1、课程网址：http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问第二章行列式§1引言解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位.这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组.线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容.对于二元线性方程组当时，此方程组有唯一解，即我们称为二级行列式，用符号表示为.于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式时，该方程组有唯一解，即.对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组称代数式为三级行列式，用符号

2、表示为：课程网址：http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问.当三级行列式时，上述三元线性方程组有唯一解，解为其中.在这一章我们要把这个结果推广到元线性方程组的情形.为此，首先给出级行列式的定义并讨论它的性质，这是本章的主要内容.课程网址：http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问§2排列一、排列的定义定义1由组成的一个有序数组称为一个级排列.所有不同的级排列共有！个．显然也是一个级排列，这个排列具有自然顺序

3、，就是按递增的顺序排起来的；其它的排列或多或少地破坏自然顺序.定义2在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.注1）排列的逆序数记为例1．逆序有：31，32，54，52，42逆序有：31，31，54，51，52，41，42．注2）=后面比小的数的个数++后面比小的数的个数．或=前面比大的数的个数+前面比大的数的个数++前面比大的数的个数．例2．求级排列及的逆序数解：练习：求下列排列的逆序数．（1）（2）解：（1）（　　）（2）定义3逆序数为偶数的排

4、列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列.应该指出，我们同样可以考虑由任意课程网址：http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问个不同的自然数所组成的排列，一般也称为级排列.对这样一般的级排列，同样可以定义上面这些概念.二、排列的奇偶性把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这样一个变换称为一个对换.显然，如果连续施行再次相同的对换，那么排列就还原了.由此得知，一个对换把全部级排列两两配对，使每两个配成对的级排列在这个对换下互变.定理1对换改变排列的奇

5、偶性.这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列.推论在全部级排列排列中，奇、偶排列的个数相等，各有个.定理2任意一个级排列与排列都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.课程网址：http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问§3级行列式一、级行列式的概念在给出级行列式的定义之前，先来看一下二级和三级行列式的定义.我们有,(1)(2)从二级和三级行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不

6、同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.另一方面，每一项乘积都带有符号.这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成,(3)其中是1，2，3的一个排列.可以看出，当是偶排列时.对应的项在(2)中带有正号，当是奇排列时带有负号.定义4级行列式(4)等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积(5)的代数和，这里是的一个排列，每一项(5)都按下面规则带有符号；当是偶排列时，(5)带有正号，当是奇排列时，(5)带有负号.这一定义可写成,(6)课程网址：http://jpkc.hnadl.cn/Able

7、.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问这里表示对所有级排列求和.注：1）常记　或．2）中的数称为行列式处于第行第列的元素，称为行指标，称为列指标．3）级行列式定义展开式中共有项．定义表明，为了计算级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号.例1．一般地（对角形行列式）类似可得课程网址：http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问主对角线上三角形行列式（

8、8）下三角形行列式.这两个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积.特别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形