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《怀化学院省级精品课程-高等代数教案：第六章 线性空间》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、课程网址：http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问第六章线性空间§1集合·映射一、集合集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西.组成集合的东西称为这个集合的元素.用表示是集合的元素，读为：属于.用表示不是集合的元素，读为：不属于.所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一个集合的方式不外两种，一种是列举法：列举出它全部的元素，一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.设是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成.不
2、包含任何元素的集合称为空集，记作.如果两个集合与含有完全相同的元素，即当且仅当，那么它们就称为相等，记为.如果集合的元素全是集合的元素，即由可以推出，那么就称为的子集合，记为或.两个集合和如果同时满足和.，则和相等.设和是两个集合，既属于又属于的全体元素所成的集合称为与的交，记为.属于集合或者属于集合的全体元素所成的集合称为与的并，记为.二、映射设和是两个集合，所谓集合到集合的一个映射就是指一个法则，它使中每一个元素都有中一个确定的元素与之对应.如果映射使元素与元素对应，那么就记为课程网址：http://jpkc.hnadl.cn/Abl
3、e.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问,就称为在映射下的像，而称为在映射下的一个原像.到自身的映射，有时也称为到自身的变换.关于到的映射应注意：1）与可以相同，也可以不同；2）对于中每个元素，需要有中一个唯一确定的元素与它对应；3）一般，中元素不一定都是中元素的像；4）中不相同元素的像可能相同；5）两个集合之间可以建立多个映射.集合到集合的两个映射及，若对的每个元素都有则称它们相等，记作..例1是全体整数的集合，是全体偶数的集合，定义,这是到的一个映射.例2是数域上全体级矩阵的集合，定义.这是到的一个映射.例3是
4、数域上全体级矩阵的集合，定义.是级单位矩阵，这是到的一个映射.例4对于,定义这是到自身的一个映射.例5设，是两个非空的集合，是中一个固定的元素，定义.这是到的一个映射.课程网址：http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问例6设是一个集合，定义.即把的每个元素都映到它自身，称为集合的恒等映射或单位映射，记为.例7任意一个定义在全体实数上的函数都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形.对于映射可以定义乘法,设及分别是集合到，到的映射，乘积定义为,即相继
5、施行和的结果，是到的一个映射.对于集合集合到的任何一个映射显然都有.映射的乘法适合结合律.设分别是集合到，到，到的映射，映射乘法的结合律就是.设是集合到的一个映射，用代表在映射下像的全体，称为在映射下的像集合.显然.如果，映射称为映上的或满射.如果在映射下，中不同元素的像也一定不同，即由一定有,那么映射就称为的或单射.一个映射如果既是单射又是满射就称对应或双射.对于到的双射可以自然地定义它的逆映射，记为.因为课程网址：http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问为满射，所
6、以中每个元素都有原像，又因为是单射，所以每个元素只有一个原像，定义.显然，是到的一个双射，并且.不难证明，如果分别是到，到的双射，那么乘积就是到的一个双射.课程网址：http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问§2线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义.例1在解析几何里,讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的.10按平行四边形法则所定义的向量的加法是V3的一个
7、运算;20解析几何中规定的实数与向量的乘法是R×V3到V3的一个运算.30由知道,空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律.例2.数域上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满足上述规律.定义1令是一个非空集合，是一个数域.在集合的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则，.对于中任意两个向量与,在中都有唯一的一个元素与它们对应,称为与的和,记为.在数域与集合的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域中任一个数与中任一个元素,在中都有唯一的一个元素与它们对应,称为与的数量乘积,记为.如果加法
8、与数量乘法满足下述规则，那么称为数域上的线性空间.加法满足下面四条规则：:1)；2)；3)在中有一个元素0,,都有（具有这个性质的元素0称为的零元素）；4)(称为的负元素).数量乘法满足下面两
