怀化学院省级精品课程-高等代数教案:第二章 行列式

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1、课程网址:http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问第二章行列式§1引言解方程是代数中的一个基本的问题,特别是在中学所学代数中,解方程占有重要地位.这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组,即线性方程组.线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容.对于二元线性方程组当时,此方程组有唯一解,即我们称为二级行列式,用符号表示为.于是上述解可以用二级行列式叙述为:当二级行列式时,该方程组有唯一解,即.对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组称代数式为三级行列式,用符号

2、表示为:课程网址:http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问.当三级行列式时,上述三元线性方程组有唯一解,解为其中.在这一章我们要把这个结果推广到元线性方程组的情形.为此,首先给出级行列式的定义并讨论它的性质,这是本章的主要内容.课程网址:http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问§2排列一、排列的定义定义1由组成的一个有序数组称为一个级排列.所有不同的级排列共有!个.显然也是一个级排列,这个排列具有自然顺序

3、,就是按递增的顺序排起来的;其它的排列或多或少地破坏自然顺序.定义2在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.注1)排列的逆序数记为例1.逆序有:31,32,54,52,42逆序有:31,31,54,51,52,41,42.注2)=后面比小的数的个数++后面比小的数的个数.或=前面比大的数的个数+前面比大的数的个数++前面比大的数的个数.例2.求级排列及的逆序数解:练习:求下列排列的逆序数.(1)(2)解:(1)(  )(2)定义3逆序数为偶数的排

4、列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列.应该指出,我们同样可以考虑由任意课程网址:http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问个不同的自然数所组成的排列,一般也称为级排列.对这样一般的级排列,同样可以定义上面这些概念.二、排列的奇偶性把一个排列中某两个数的位置互换,而其余的数不动,就得到另一个排列.这样一个变换称为一个对换.显然,如果连续施行再次相同的对换,那么排列就还原了.由此得知,一个对换把全部级排列两两配对,使每两个配成对的级排列在这个对换下互变.定理1对换改变排列的奇

5、偶性.这就是说,经过一次对换,奇排列变成偶排列,偶排列变成奇排列.推论在全部级排列排列中,奇、偶排列的个数相等,各有个.定理2任意一个级排列与排列都可以经过一系列对换互变,并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.课程网址:http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问§3级行列式一、级行列式的概念在给出级行列式的定义之前,先来看一下二级和三级行列式的定义.我们有,(1)(2)从二级和三级行列式的定义中可以看出,它们都是一些乘积的代数和,而每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不

6、同的列的元素构成的,并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.另一方面,每一项乘积都带有符号.这符号是按什么原则决定的呢?在三级行列式的展开式(2)中,项的一般形式可以写成,(3)其中是1,2,3的一个排列.可以看出,当是偶排列时.对应的项在(2)中带有正号,当是奇排列时带有负号.定义4级行列式(4)等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积(5)的代数和,这里是的一个排列,每一项(5)都按下面规则带有符号;当是偶排列时,(5)带有正号,当是奇排列时,(5)带有负号.这一定义可写成,(6)课程网址:http://jpkc.hnadl.cn/Able

7、.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问这里表示对所有级排列求和.注:1)常记 或.2)中的数称为行列式处于第行第列的元素,称为行指标,称为列指标.3)级行列式定义展开式中共有项.定义表明,为了计算级行列式,首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序,然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号.例1.一般地(对角形行列式)类似可得课程网址:http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040欢迎大家访问主对角线上三角形行列式(

8、8)下三角形行列式.这两个行列式就等于主对角线(从左上角到右下角这条对角线)上元素的乘积.特别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形

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