《漫画傅里叶解析》笔记

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1、《漫画傅里叶解析》笔记《漫画傅里叶解析》作者涉谷道雄第0章序声音用傅里叶变换对波进行分析的方法就叫傅里叶分析。傅里叶分析不仅用于声音，在各种波形分析中都能用到，如声纹分析，图像数据的压缩技术。磁共振图像分析。第1章通往傅里叶变换的道路一、声音与频率声音是通过改变对空气的压力，以波的形式传播的。这个压力的变化叫声压。横轴表示时间，纵轴表示声压，将声音图形化。1秒内一个相邻的波峰和波谷的波形往返重复的次数就叫做频率，单位为Hz（赫兹）。“拉”音=440Hz。不同的倍数得到不同声调的“拉”。复杂的波形其实由简单的波形合成得到。构成复杂波形的简单波形叫做频率成分。将各个

2、合成频率成分及其强度用图形表示，可以得到频率谱，简称谱。明白了频率谱就能明白声音的基本组成成分了。这就是傅里叶变换，是从波形中得到频率谱的方法。反过来，也可从频率谱得到波形，这叫傅里叶逆变换。用傅里叶变换研究频率谱的特征的方法，叫做傅里叶解析。二、横波与纵波在电磁波中，电场和磁场的强度随时间变化，且它们的方向与波的传播方向垂直，这样的波叫横波。声音是利用空气的振动，使空气的密度变高变低来传播的，波的传播方向与振动方向相同的波叫做纵波。具有纵波性质的波，需要传递密度的变化，因此需要媒介，不能在真空中传播。纵波，在传播方向上使媒介的密度变高变低，因此也叫疏密波，用密

3、度的变化把疏密波图形化，可以得到与横波相同的图形。不论横波还是纵波，都可以用正弦函数sin表示。一、波的时间变化看波纹传播的情况，可以发现波峰和波谷交替前进，而水面的某一点也在上下运动，相互保持独立。简单波形的合成，用来研究其中的频率和强度的数学方法，就叫傅里叶变换。二、频率与振幅振幅是信号的高低差，波形中相邻的一个波峰和波谷的时间长度叫周期。频率在波形中就是1秒钟有多少个周期。振幅对应声音的强弱，振幅小的情况下对应的音量也小。频率增加，音调变高，变成高音。从复杂波形中求出频率谱的方法就叫傅里叶变换。看周期最大的波，它的频率被叫做基本频率。最大的波周期，叫基本周

4、期。傅里叶变换步骤：复杂波形à求频率成分à不同强度组合起来合成一个波形（频率-强度–谱）一、约瑟夫▪傅里叶的发现傅里叶的发现：再复杂的现象也是由简单的现象组合在一起而形成的。二、傅里叶变换的数学准备Sincos三角函数；函数的切线（倾斜）；积分（原函数）；定积分（面积、体积）；不定积分；函数的四则运算；函数的积及其定积分；函数的正交；正交函数为基础的函数合成；傅里叶级数；傅里叶变换。第0章三角函数一、旋转与三角函数摩天轮的高度与时间的关系。二、单位圆半径为1的圆叫单位圆。一、正弦函数Y=sinθ余弦函数X=cosθ一、参数表示与圆的表达式X=cosθY=sinθ

5、二、随时间变化的三角函数的物理量的研究物理量ω叫角速度，单位弧度/秒（rad/s）ω乘以t（s）得到的物理量是角度。三、ωt与三角函数函数y=sinωtω定值，以t为横轴，图形为正弦函数。以ω为横轴，变成与纵轴平行的线段。时间函数与频率谱产生联系。第0章积分与微分一、积分积分与过山车，积分求面积。dx是什么意思？d表示微小的意思，dx表示x的微小变化量。积分就是将微小区间的面积一点点加起来，从而求整个区间的方法。一、常数函数的积分二、一次函数的积分三、n次函数的积分四、任意曲线的定积分将大区间分为间隔相同的小区间，依次按顺序求这些区间的面积，加起来得到大区间的面

6、积。在数学表达式（数学函数）无法表示的场合，就用计算机来计算。五、切线微分是积分的逆运算。微分就是求切线的斜率。六、微分七、三角函数的微分八、三角函数的定积分第0章函数的四则运算一、函数的和二、函数之间的加法Y=X2与Y=X的和为Y=X2+X三、函数之间的减法Y=X2与Y=X的差为Y=X2-X四、函数之间的乘法Y=X2-2与Y=X的积为Y=X3-2XY=sinX与Y=cosX的积为Y=sinXcosX=1/2sin2X第0章函数的正交一、函数的正交正交就是成直角的意思。首先画出两个相互正交的函数，sinXcosXsinX函数的波形与cosX函数的波形相差π/2。

7、也就是说，这两个函数的波形的起始点的位置关系，在单位圆上成直角。如果函数成正交关系，那么它们积的定积分为0。反过来说，如果两个函数的积的定积分为0，这两个函数正交。一、两正交函数的图形证明二、两正交函数的数学计算证明三、Y=sin2X的定积分=π第0章傅里叶变换的准备知识一、用三角函数的加法运算制作图形画出Y=sinX+cosX的图形。图形的出发点，也就是函数y=0的x值，发生了改变，出发点不同了。这个出发点到y轴的距离，叫做“相位差”，简称相位。二、acosX与bsinX的合成SinnX与cosnX合成时是n周期，这个n周期对应着角频率ω，有了周期和振幅r，就

8、能得到频谱图。一、周期不