1.2.1任意角的三角函数教案

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1、1.2.1任意角的三角函数【教学目标】(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);(2)理解任意角的三角函数不同的定义方法;(3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来;(4)掌握并能初步运用公式一;(5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.【教学重难点】重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一).难点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和

2、函数值在各象限的符号);三角函数线的正确理解.【教学过程】yP(a,b)rOM一、【创设情境】提问:锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示?借助右图直角三角形,复习回顾.引入:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那a的终边P(x,y)Oxy么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则;;.思考:对于确定的角,这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢?显然,我们可以将点取在使线段的长的特

3、殊位置上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:;;.思考:上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后,我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改,以利推广到任意角呢?本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.二、【探究新知】1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的

4、定义?如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:(1)叫做的正弦(sine),记做,即;(2)叫做的余弦(cossine),记做,即;(3)叫做的正切(tangent),记做,即.注意:当α是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边,斜边所在);当α不是锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点,从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,.所以,

5、三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表;再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中:三角函数定义域第一象限第二象限第三象限第四象限角度制弧度制5.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:(其中)6.三角函数线设任意角的顶点在原点,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点,过作轴的垂线,垂足为;过点作单位圆的切线,它与角的终

6、边或其反向延长线交与点.(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅳ)(Ⅲ)由四个图看出:当角的终边不在坐标轴上时,有向线段,于是有我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.7.例题讲解例1.已知角α的终边经过点,求α的三个函数制值。解:变式训练1:已知角的终边过点,求角的正弦、余弦和正切值.解:,,.例2.求下列各角的三个三角函数值:(1);(2);(3).解:(1)sin0=0cos0=1tan0=0(2)(3)变式训练2:求的正弦、余弦和正切值.例3.已知角α的终边过点,求α的三个三角函数值.解析:计算点到原点的距

7、离时应该讨论a的正负.变式训练3:求函数的值域.解析:分四个象限讨论.答案:{2,-2,0}例4..利用三角函数线比较下列各组数的大小:1.与2.tan与tan三、【学习小结】(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?(2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?(3)请写出各三角函数的定义域;(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?(5)三角函数线的做法.四、【作业布置】作业:习题1.2A组第1

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